Equação do Segundo Grau - Relações entre Coeficientes e Raízes
Através de estudos o matemático Albert Girard definiu relações entre as equações do segundo grau e suas raízes. Estas relações nos permitem obter a equação original a partir de suas raízes, assim também como em alguns casos podemos obter mentalmente as raízes de algumas equações, através da utilização destas relações.
Raízes de uma Equação do 2° grau
Abaixo temos as raízes de uma equação do segundo grau genérica:
![](MEx.ashx?YXheMlxxdWFkK1xxdWFkIGJ4XHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbGVmdFx7eF8xXHF1YWQ9XHF1YWQgXGZyYWN7LWJccXVhZCArXHF1YWQgXHNxcnR7XERlbHRhfX17MmF9XFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxcXCB4XzJccXVhZD1ccXVhZCBcZnJhY3stYlxxdWFkIC1ccXVhZCBcc3FydHtcRGVsdGF9fXsyYX0=)
Como já visto em outra página deste site, só existirão raízes reais para a equação, desde que Δ ≥ 0, pois não existe raiz quadrada real de um número negativo.
Soma das Raízes de Equações do 2° grau
Sendo x1 e x2 raízes de uma equação como definido acima, temos que a soma destas raízes será:
![](MEx.ashx?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)
Logo a soma das raízes será dada por:
![](MEx.ashx?eF8xXHF1YWQrXHF1YWQgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3stYn17YX0=)
Produto das Raízes de Equações do 2° grau
Assim como no caso da soma, o produto das raízes x1 e x2 será:
![](MEx.ashx?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)
Sabemos que Δ = b2 -4ac. Substituindo-o na equação temos:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7Yl4yXHF1YWQtXHF1YWRcRGVsdGF9ezRhXjJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3tiXjJccXVhZC1ccXVhZChiXjJccXVhZC1ccXVhZDRhYyl9ezRhXjJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3s0YWN9ezRhXjJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3tjfXthfQ==)
Portanto o produto das raízes será dado por:
![](MEx.ashx?eF8xXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7Y317YX0=)
Construção de Equações do 2° grau a partir de suas Raízes
Através da fórmula geral de resolução, também conhecida como fórmula de Bhaskara, partimos de uma equação e chegamos às suas raízes. Agora, com base nas relações de Girard, veremos como a partir das raízes, chegarmos à equação.
A forma reduzida deste tipo de equação é ax2 + bx + c = 0. Realizando a divisão de ambos os membros por a temos:
![](MEx.ashx?YXheMlxxdWFkK1xxdWFkIGJ4XHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7YXheMn17YX1ccXVhZCtccXVhZFxmcmFje2J9e2F9IHhccXVhZCtccXVhZFxmcmFje2N9e2F9XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3swfXthfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHheMlxxdWFkK1xxdWFkXGZyYWN7Yn17YX0geFxxdWFkK1xxdWFkXGZyYWN7Y317YX1ccXVhZD1ccXVhZDBccXVhZFxSaWdodGFycm93XFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XjJccXVhZC1ccXVhZCgtXGZyYWN7Yn17YX0pIHhccXVhZCtccXVhZFxmcmFje2N9e2F9XHF1YWQ9XHF1YWQw)
Como supracitado nesta página:
![](MEx.ashx?eF8xXHF1YWQrXHF1YWQgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3stYn17YX0=)
E:
![](MEx.ashx?eF8xXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7Y317YX0=)
Chamemos de S a soma das raízes ( S = x1 + x2 ) e de P o seu produto ( P = x1 . x2 ). Substituindo na equação temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQtXHF1YWQoLVxmcmFje2J9e2F9KSB4XHF1YWQrXHF1YWRcZnJhY3tjfXthfVxxdWFkPVxxdWFkMFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHheMlxxdWFkLVxxdWFkIFN4XHF1YWQrXHF1YWQgUFxxdWFkPVxxdWFkMA==)
Portanto a equação x2 - Sx + P = 0, onde os coeficientes S e P representam respectivamente a soma e o produto das raízes, nos permite reconstruir a equação que possui estas raízes.
Exemplo
Para a fixação dos conceitos, tomemos uma equação, identifiquemos as suas raízes e a partir delas, através das relações de Girard cheguemos à equação novamente.
Parta da equação do segundo grau x2 - 5x - 24 = 0, encontre as suas raízes e a partir delas reconstrua a equação original.
Em primeiro lugar vamos encontrar as raízes da equação x1 e x2:
![](MEx.ashx?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)
Note que pudemos encontrar duas raízes reais e diferentes para equação, justamente porque Δ > 0. Veja que nesta equação o valor de Δ é 121.
Agora que já conhecemos as suas raízes, através das relações de Girard iremos reconstruir a equação original.
Para a soma das raízes temos:
![](MEx.ashx?U1xxdWFkPVxxdWFkIHhfMVxxdWFkK1xxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkOFxxdWFkK1xxdWFkKC0zKVxxdWFkPVxxdWFkNQ==)
Para o produto das raízes temos:
![](MEx.ashx?UFxxdWFkPVxxdWFkIHhfMVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCB4XzJccXVhZD1ccXVhZDhccXVhZFxjZG90IFxxdWFkKC0zKVxxdWFkPVxxdWFkLTI0)
Reconstruindo temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQtXHF1YWQgU3hccXVhZCtccXVhZCBQXHF1YWQ9XHF1YWQwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF4yXHF1YWQtXHF1YWQ1eFxxdWFkK1xxdWFkKC0yNClccXVhZD1ccXVhZDBccXVhZFxSaWdodGFycm93XFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XjJccXVhZC1ccXVhZFxxdWFkNXhccXVhZC1ccXVhZDI0XHF1YWQ9XHF1YWQw)
Portanto partimos da equação x2 - 5x - 24 = 0, encontramos as suas raízes reais x1 = 8 e x2 = -3 e a partir da soma e do produto delas, reconstruímos a equação original.
![](images/h700.gif)