Exercícios resolvidos - Sistemas de Equação do 1° Grau com 2 Incógnitas
Para maiores informações teóricas sobre este assunto veja também:Sistemas de Equação do Primeiro Grau com Duas Incógnitas
1) Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto em garrafas de um litro e meio, quanto de 600 ml. Qual é a quantidade de garrafas de cada capacidade sabendo-se que são 13 garrafas no total?
Talvez a maior dificuldade ao resolvermos sistemas de equação do 1° grau com 2 incógnitas, não seja a resolução do sistema em si, pois basta escolhermos um dos dois métodos de resolução de sistemas apresentados aqui e pronto, mas sim a dificuldade de equacionarmos o sistema.
Neste problema estamos tratando de garrafas em duas capacidades: 1,5 l e 600 ml que convertidos em litros são 0,6 l. Sabemos também que temos um total de 15 l de refrigerante, acondicionados em 13 garrafas.
Então vamos montar duas equações. Uma tratando a quantidade de garrafas e outra tratando a quantidade de refrigerante.
Vamos atribuir x à quantidade de garrafas com capacidade de 1,5 l e y às garrafas de 0,6 l.
Segundo o enunciado temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l que totalizam 15 l. Então temos a primeira equação:
O enunciado também nos leva a concluir que temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l em um total de 13 garrafas. Temos então a segunda equação:
Eis portanto o nosso sistema:
Para solucionarmos o problema pelo método da adição, vamos começar multiplicando todos os termos da segunda equação por -0,6:
Escolhemos -0,6 por ser o oposto do coeficiente de y na primeira equação.
Repare agora que ao somarmos as duas equações estaremos eliminando a variável y:
Agora para encontramos o valor de x, basta passarmos o coeficiente 0,9 para o segundo membro, dividindo o termo 7,2:
Agora que temos o valor de x, vamos substituir o x da segunda equação por 8 para encontrarmos o valor de y:
Portanto para ordenado (8, 5) é a solução do referido sistema.
Na geladeira de Ana há 8 garrafas de 1500 ml e 5 garrafas de 600 ml.
2) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 7,00. Seu irmão Joãozinho comprou uma coxinha e um refrigerante a mais, pagando R$ 11,50. Qual é o preço do refrigerante e o da coxinha?
Para montarmos as equações vamos utilizar a incógnita c para representar a quantidade de coxinhas e a variável r para a representação da quantidade de refrigerantes.
Como Pedrinho comprou 2 coxinhas e 1 refrigerante a R$ 7,00, temos:
Como Joãozinho comprou uma unidade a mais de cada item, ele comprou 3 coxinhas e 2 refrigerantes a R$ 11,50, temos:
Temos então o seguinte sistema:
Neste exercício vamos utilizar o método da substituição. Para isto vamos começar isolando no primeiro membro, a incógnita r da primeira equação:
Escolhemos o isolamento desta variável, pois ela possuía coeficiente 1, o que tornaria as operações mais simples e rápidas. Em não havendo uma variável nesta situação, devemos escolher a que mais nos pareça simplificar a resolução do sistema.
Agora vamos substituir r na segunda equação:
A partir de c = 2,5 vamos obter o valor de r:
Então:
O valor unitário do refrigerante é R$ 2,00 e o da coxinha é R$ 2,50.
3) Em uma prateleira há 42 produtos em embalagens de 400 g e de 500 g, num total de 18,5 kg. Quantas embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número de embalagens de 400 g seja o mesmo que o número de embalagens de 500 g?
Para que as quantidades fiquem iguais, precisamos retirar da prateleira a diferença entre elas. Se representarmos a maior quantidade por x e a menor quantidade por y, precisamos retirar x - y embalagens de 400 g.
Obviamente primeiro é preciso obter o valor de x e y. Para isto iremos montar com estas duas variáveis um sistema de equações do primeiro grau.
A partir do enunciado podemos facilmente montar o seguinte sistema:
A primeira equação representa que a quantidade de embalagens com 400 g, juntamente com a quantidade com 500 g totalizam 42 embalagens.
A segunda equação representa que a massa das embalagens com 400 g, mais a massa das embalagens com 500 g totalizam 18,5 kg. Observe que passamos a massa das embalagens para kg, pois a massa total também está em kg, no entanto poderíamos ter passado a massa total para g se desejássemos.
Vamos resolver este exercício pelo método da substituição. Para que possamos eliminar a variável y, vamos multiplicar todos os termos da primeira equação pelo oposto do coeficiente de y na segunda equação que é -0,5:
Agora podemos somar as duas equações:
Para obtermos o valor de y vamos substituir o valor de x na primeira equação:
Como x = 25 e y = 17 a diferença x - y é igual a 8, portanto:
8 embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número destas embalagens seja o mesmo que o número das embalagens de 500 g.
4) Um certo jogo possui fichas com duas ou quatro figuras cada uma. Um certo jogador possui 8 fichas com um total de 22 figuras. Quantas fichas de cada tipo possui este jogador?
Como sempre vamos atribuir uma letra a cada uma das variáveis do problema. Para as fichas com duas figuras vamos atribuir a letra x e para as fichas com quatro figuras vamos atribuir a letra y.
Lendo o enunciado fica evidente a primeira equação:
Como a letra x está associada às fichas com 2 figuras, assim como a letra y às fichas com quatro figura e como no total temos 22 figuras, podemos escrever a segunda equação:
Então temos que solucionar o seguinte sistema:
Vamos solucioná-lo pelo método da substituição, primeiramente isolando no primeiro membro a incógnita x da primeira equação:
Agora vamos substituir o resultado obtido na segunda equação:
Finalmente vamos obter o valor de x:
Portanto:
Este jogador possui 5 fichas com duas figuras e 3 fichas com quatro figuras.
5) Possuo R$ 2.300,00 em notas de R$ 50,00 e R$ 100,00, totalizando 30 notas. Quantas notas possuo de cada valor?
Representando por x as notas de R$ 50,00 e por y as notas de R$ 100,00, a partir das informações do problema podemos equacionar o seguinte sistema:
Vamos utilizar o método da adição e para que não fiquemos com nenhum termo negativo após efetuarmos a soma, vamos escolher eliminar a variável x e não a y. Para isto iremos multiplicar por -50 todos os termos da primeira equação, valor este simétrico ao coeficiente de x na segunda equação:
Após executarmos a soma e isolarmos y temos:
E por fim, substituindo o valor de y na primeira equação:
Logo:
Possuo 14 notas de R$ 50,00 e 16 notas de R$ 100,00.
6) Comprando 5 unidades de um produto A mais 3 unidades de um produto B, terei que desembolsar R$ 90,00. Se eu comprar 15 unidades do produto A e 9 unidades do produto B, pagarei R$ 250,00. Qual é o preço unitário de cada um dos produtos?
Os dados do problema nos levam ao seguinte sistema:
Vamos solucioná-lo pelo método da adição. Iremos começar multiplicando a primeira equação por -3:
Agora realizaremos a soma:
Note que chegamos a uma sentença inválida, portanto o sistema é impossível, não admitindo soluções.
Logo:
Não é possível obtermos o preço unitário de cada um dos produtos.
7) No supermercado comprei arroz a R$ 2,00/kg e feijão a R$ 3,00/kg, pagando R$ 13,00. Na vendinha do seu Joaquim o arroz teria custado R$ 3,00/kg e o feijão R$ 4,50/kg, pagando R$ 19,50 no total. Quantos quilogramas foram comprados de cada item?
Do enunciado chegamos ao sistema:
Vamos isolar a variável A da primeira equação para aplicarmos o método da substituição:
Agora vamos substituir A na segunda equação:
Logo o sistema é possível e indeterminado, possuindo uma infinidade de soluções.
Então:
As informações do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui uma infinidade de soluções.
8) Em um pasto há tanto bois quanto cavalos, num total de 50 animais. Somando-se o número de patas de bois ao número de patas de cavalos, obtemos um total de 180 patas. Quantos cavalos temos no pasto, sabendo-se que todos os animais são normais?
Vamos representar os cavalos pela incógnita C e o bois pela incógnita B e a partir destas variáveis expressarmos as duas equações que nos permitirão formar um sistema de equações com duas variáveis.
Inicialmente o enunciado nos diz que:
Como cavalos e bois normais possuem 4 patas, do enunciado tiramos a segunda equação:
Podemos então montar o seguinte sistema:
Na primeira equação, vamos isolar a variável B, já que estamos em busca do número de cavalos. Se estivéssemos em busca da quantidade de bois, iríamos isolar a variável referente aos cavalos:
Agora vamos substituir B na segunda equação para obtermos o número de cavalos. Foi por isto que no passo anterior isolamos a variável B e não a C:
Como já vimos, esta sentença inválida no indica que este sistema não possui soluções, o que já era de se esperar, já que sendo normais os animais, teríamos que ter 200 patas no total e não apenas 180, mas neste caso ainda assim não teríamos como identificar o número de cavalos, já que o sistema seria possível indeterminado, visto que no final iríamos obter a sentença 0 = 0.
Logo:
Não é possível se calcular o número de cavalos, pois estamos diante de um sistema impossível.
9) Têm-se vários quadrados iguais e também vários triângulos iguais. Se destes tomarmos dois triângulos e quatro quadrados, a soma das suas áreas será igual a 784 cm2, já se tomarmos apenas um triângulo e dois quadrados, a soma das suas áreas será igual a 392 cm2. Qual é a área de cada um destes triângulos e quadrados?
Para equacionarmos o problema, vamos atribuir a letra T aos triângulos e a letra Q aos quadrados, então a partir do enunciado podemos montar o seguinte sistema de equações com duas variáveis:
Vamos resolvê-lo pelo método da adição, multiplicando a segunda equação por -2 e adicionando à primeira:
O fato de termos chegado a 0 = 0 nos indica que este é um sistema possível e indeterminado, pois embora haja solução para o mesmo, não temos apenas uma única solução.
Logo:
Os dados do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui uma infinidade de soluções.
10) A soma de dois números é 530 e a diferença entre eles é 178. Quais são estes números?
Representando por x o número maior e por y o número menor, temos o seguinte sistema a resolver:
É bastante claro para nós que ao somarmos as equações iremos eliminar os termos com a variável y e é isto o que iremos fazer para apuramos o valor de x:
Agora vamos obter o valor de y trocando o x na primeira equação pelo valor encontrado:
Pronto:
Os números são 354 e 176.
