Exercícios resolvidos - Equação do Segundo Grau
Para maiores informações teóricas sobre este assunto veja também:Equação do Segundo Grau
1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?
Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:
3x2 = 63 - 12x
Que pode ser expressa como:
3x2 + 12x - 63 = 0
Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema:
Primeiramente calculemos o valor de Δ:
![](MEx.ashx?XERlbHRhXHF1YWQ9XHF1YWQgYl4yXHF1YWQtXHF1YWQ0XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGFccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMTJeMlxxdWFkLVxxdWFkNFxxdWFkXGNkb3RccXF1YWQzXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkKC02MylccXVhZD1ccXVhZDE0NFxxdWFkK1xxdWFkNzU2XHF1YWQ9XHF1YWQ5MDA=)
Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:
![](MEx.ashx?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)
A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.
Portanto:
Pedro tem 3 filhos.
2) Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?
Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos:
x . 1,5x = 9600
Que pode ser expressa como:
1,5x2 - 9600 = 0
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:
![](MEx.ashx?MSw1eF4yXHF1YWQtXHF1YWQgIDk2MDBccXVhZD1ccXVhZDBccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCAxLDV4XjJccXVhZD1ccXVhZDk2MDBccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCB4XjJccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezk2MDB9ezEsNX0gXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkXHBtXHNxcnR7NjQwMH0gXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkXHBtODA=)
As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:
Esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.
3) O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?
Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação:
x2 - (x - 20) = 2000
Ou ainda:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQtXHF1YWQoeFxxdWFkLVxxdWFkMjApXHF1YWQ9XHF1YWQyMDAwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHheMlxxdWFkLVxxdWFkIHhccXVhZCtccXVhZDIwXHF1YWQ9XHF1YWQyMDAwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHheMlxxdWFkLVxxdWFkIHhccXVhZC1ccXVhZDE5ODBccXVhZD1ccXVhZDA=)
A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos:
![](MEx.ashx?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)
As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo:
Agora eu tenho 45 anos.
4) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto?
O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x.
Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades.
Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação:
4 . x + x . x + 8 = 200
Ou então:
![](MEx.ashx?NFxxdWFkLlxxdWFkIHhccXVhZCtccXVhZCB4XHF1YWQuXHF1YWQgeFxxdWFkK1xxdWFkOFxxdWFkPVxxdWFkMjAwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkNHhccXVhZCtccXVhZCB4XjJccXVhZCtccXVhZDhccXVhZD1ccXVhZDIwMFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XjJccXVhZCtccXVhZDR4XHF1YWQtXHF1YWQxOTJccXVhZD1ccXVhZDBccXVhZA==)
Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este:
![](MEx.ashx?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)
As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. Assim:
O preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.
5) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?
Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374.
Esta sentença matemática também pode ser expressa como:
![](MEx.ashx?eFxxdWFkLlxxdWFkKHhccXVhZC1ccXVhZDUpXHF1YWQ9XHF1YWQzNzRccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF4yXHF1YWQtXHF1YWQ1eFxxdWFkPVxxdWFkMzc0XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHheMlxxdWFkLVxxdWFkNXhccXVhZC1ccXVhZDM3NFxxdWFkPVxxdWFkMA==)
Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:
![](MEx.ashx?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)
As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos.
Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo:
Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.
6) Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes?
Em notação matemática, definindo a incógnita como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma:
3x2 = 15x
Ou ainda como:
3x2 - 15x = 0
A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara, pode ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma equação incompleta, podemos solucioná-la de uma outra forma.
Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual a zero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer que:
![](MEx.ashx?YXheMlxxdWFkK1xxdWFkIGJ4XHF1YWQ9XHF1YWQwXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsZWZ0XHt4XzFccXVhZD1ccXVhZDBcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxceF8yXHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17YX0=)
Temos então:
![](MEx.ashx?eFxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFje2J9e2F9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZC1cZnJhY3stMTV9ezN9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZDU=)
Assim sendo:
Os dois números são 0 e 5.
7) Quais são as raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0?
Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta: Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48?
Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.
Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em detalhes em outra página deste site, estas são as raízes da referida equação.
Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bhaskara:
![](MEx.ashx?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)
As raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0 são 6 e 8.
8) O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?
Sendo x a nota final, matematicamente temos:
2x2 = 0
Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.
Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:
![](MEx.ashx?MnheMlxxdWFkPVxxdWFkMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIHheMlxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MH17Mn1ccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCB4XjJccXVhZD1ccXVhZDBccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWRccG1cc3FydHswfVxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZDA=)
A nota final de Pedrinho é igual a zero.
9) Solucione a equação biquadrada: -x4 + 113x2 - 3136 = 0.
Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 e y temos:
-y2 + 113y - 3136 = 0
A resolvendo temos:
![](MEx.ashx?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)
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y temos:
Para y1 temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQ9XHF1YWQ0OVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWRccG1cc3FydHs0OX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbGVmdHt4XzFccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezQ5fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XzFccXVhZD1ccXVhZDdcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWQtXHNxcnR7NDl9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkLTc=)
Para y2 temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQ9XHF1YWQ2NFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWRccG1cc3FydHs2NH1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbGVmdHt4XzNccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezY0fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XzNccXVhZD1ccXVhZDhcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgeF80XHF1YWQ9XHF1YWQtXHNxcnR7NjR9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfNFxxdWFkPVxxdWFkLTg=)
Assim sendo:
As raízes da equação biquadrada -x4 + 113x2 - 3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8.
10) Encontre as raízes da equação biquadrada: x4 - 20x2 - 576 = 0.
Novamente iremos substituir x4 por y2 e x2 e y, obtendo uma equação do segundo grau:
y2 - 20y - 576 = 0
Ao resolvermos a mesma temos:
![](MEx.ashx?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)
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da equação biquadrada:
Para y1 temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQ9XHF1YWQzNlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWRccG1cc3FydHszNn1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbGVmdHt4XzFccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezM2fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XzFccXVhZD1ccXVhZDZcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWQtXHNxcnR7MzZ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkLTY=)
Para y2, como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado.
Desta forma:
As raízes da equação biquadrada x4 - 20x2 - 576 = 0 são somente: -6 e 6.
![](images/h700.gif)