Taxas Nominais, Efetivas e Equivalentes
Taxas Nominais
Você vai ao banco investir R$ 100.000,00 em uma aplicação financeira e o gerente lhe informa que para a aplicação escolhida a taxa de juros anual é de 24% a.a., com capitalização composta mensal.
Então você terá uma aplicação no regime de capitalização composta, sendo que o acréscimo dos juros ao montante será realizado mensalmente.
Note que o período de formação e acréscimo dos juros ao capital difere do período de tempo da taxa. Temos uma taxa anual, mas os juros são calculados e acrescidos mês a mês. Nestas condições a taxa de juros é denominada taxa nominal.
Tópico relacionadoExercícios resolvidos - Juros Compostos e Prestações
Sendo a taxa nominal de 24% a.a. e visto que a capitalização é mensal, qual será a taxa de juros ao mês?
Como 1 ano tem 12 meses a taxa será de:
![](MEx.ashx?MjQlXHF1YWRcZGl2XHF1YWQxMlxxdWFkPVxxdWFkMiU=)
A taxa mensal referente a uma taxa nominal de 24% a.a. é de 2% a.m..
Estas duas taxas são ditas taxas proporcionais, pois utilizando meses como a unidade de tempo, temos a seguinte proporção:
![](MEx.ashx?XGxhcmdle1xmcmFjezI0fXsxMn1ccXF1YWQ9XHFxdWFkXGZyYWN7Mn17MX19)
24% está para 12 meses, assim como 2% está 1 mês.
A taxa de 2% a.m. além de ser proporcional à taxa de 24% a.a., é denominada taxa efetiva mensal.
Taxas Efetivas
Segundo o dicionário efetiva significa real, verdadeira, que produz efeito. Isto quer dizer que para efeitos de cálculo utilizamos a taxa efetiva, a taxa nominal não é utilizada para estes fins.
Para continuarmos este estudo, agora que sabemos que a taxa efetiva de juros é 2% a.m. e que o capital é de R$ 100.000,00, vamos calcular qual será o novo capital após um ano de aplicação.
Vamos utilizar a seguinte fórmula para o cálculo do montante composto:
![](MEx.ashx?TVxxdWFkPVxxdWFkIENccXVhZFxjZG90XHF1YWQoMVxxdWFkK1xxdWFkIGlccXVhZClebg==)
As variáveis conhecidas são as seguintes:
![](MEx.ashx?XGxlZnRce0M6XHF1YWQgUlwkXHF1YWQxMDAuMDAwLDAwXFxpOlxxdWFkMiVccXVhZCBhLm0uXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7Mn17MTAwfVxxdWFkIGEubS5ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQwLDAyXHF1YWQgYS5tLlxcbjpccXVhZDEyXHF1YWQgbWVzZXM=)
Substituindo tais variáveis por seus respectivos valores temos:
![](MEx.ashx?TVxxdWFkPVxxdWFkMTAwMDAwXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkKDFccXVhZCtccXVhZDAsMDJccXVhZCleezEyfVxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XFxccXF1YWRcXFxxcXVhZFxcTVxxdWFkPVxxdWFkMTAwMDAwXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMSwwMl57MTJ9XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dcXFxxcXVhZFxcXHFxdWFkXFxNXHF1YWQ9XHF1YWQxMDAwMDBccXVhZFxjZG90XHF1YWQxLDI2ODI0MThccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xcXHFxdWFkXFxccXF1YWRcXE1ccXVhZD1ccXVhZDEyNjgyNCwxOA==)
Como o capital é de R$ 100.000,00, os juros serão de R$ 26.824,18:
![](MEx.ashx?TVxxdWFkLVxxdWFkIENccXVhZD1ccXVhZDEyNjgyNCwxOFxxdWFkLVxxdWFkMTAwMDAwXHF1YWQ9XHF1YWQyNjgyNCwxOA==)
Então a taxa efetiva anual será de 26,82418% a.a.
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MjY4MjQsMTh9ezEwMDAwMCwwMH1ccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMDAlXHF1YWQ9XHF1YWQyNiw4MjQxOCU=)
Taxas Equivalentes
A taxa efetiva mensal de 2% a.m. é equivalente à taxa efetiva anual de 26,82418% a.a., isto porque produzem um montante igual, quando aplicadas a um mesmo capital, em um período de tempo de mesma duração.
Para verificarmos a equivalência vamos calcular Mm e Ma, referentes ao montante obtido a partir das taxas efetivas mensal e anual, respectivamente, pelo período de um ano:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBNX21ccXVhZD1ccXVhZDEwMDAwMFxxdWFkXGNkb3RccXVhZCgxXHF1YWQrXHF1YWQwLDAyKV57MTJ9XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgTV9tXHF1YWQ9XHF1YWQxMDAwMDBccXVhZFxjZG90XHF1YWQxLDI2ODI0MThccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCBNX21ccXVhZD1ccXVhZDEyNjgyNCwxOFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIE1fYVxxdWFkPVxxdWFkMTAwMDAwXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkKDFccXVhZCtccXVhZDAsMjY4MjQxOCleMVxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIE1fYVxxdWFkPVxxdWFkMTAwMDAwXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMSwyNjgyNDE4XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgTV9hXHF1YWQ9XHF1YWQxMjY4MjQsMTg=)
Observe que calculamos a taxa efetiva anual de 26,82418% a.a. com 5 casas decimais, apenas para que pudéssemos comparar a equivalência das taxas, na prática podemos utilizar uma ou duas casas decimais como 26,82% a.a., por exemplo, neste caso o montante será ligeiramente menor (R$ 126.820,00).
Acima verificamos que os montantes Mm e Ma, calculados através da fórmula
, são iguais. Utilizando o índice m e a para identificar também as outras variáveis referentes ao cálculo dos montantes Mm e Ma, respectivamente, generalizando podemos concluir que:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBNX21ccXVhZD1ccXVhZCBDXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkKDFccXVhZCtccXVhZCBpX20pXntuX219XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgTV9hXHF1YWQ9XHF1YWQgQ1xxdWFkXGNkb3RccXVhZCgxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9hKV57bl9hfQ==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsZWZ0XHsxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9tXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFtuX21deygxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9hKV57bl9hfX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgaV9tXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFtuX21deygxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9hKV57bl9hfX1ccXVhZC1ccXVhZDFcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXDFccXVhZCtccXVhZCBpX2FccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0W25fYV17KDFccXVhZCtccXVhZCBpX20pXntuX219fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBpX2FccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0W25fYV17KDFccXVhZCtccXVhZCBpX20pXntuX219fVxxdWFkLVxxdWFkMQ==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsZWZ0XHsxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9tXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFtuX21deygxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9hKV57bl9hfX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgaV9tXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFtuX21deygxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9hKV57bl9hfX1ccXVhZC1ccXVhZDFcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXDFccXVhZCtccXVhZCBpX2FccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0W25fYV17KDFccXVhZCtccXVhZCBpX20pXntuX219fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBpX2FccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0W25fYV17KDFccXVhZCtccXVhZCBpX20pXntuX219fVxxdWFkLVxxdWFkMQ==)
Veja que nesta fórmula obtemos a taxa efetiva mensal a partir da taxa efetiva anual:
![](MEx.ashx?aV9tXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFtuX21deygxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9hKV57bl9hfX1ccXVhZC1ccXVhZDE=)
Nesta outra fórmula obtemos a taxa efetiva anual a partir da taxa efetiva mensal:
![](MEx.ashx?aV9hXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFtuX2FdeygxXHF1YWQrXHF1YWQgaV9tKV57bl9tfX1ccXVhZC1ccXVhZDE=)
Como podemos notar, ambas as fórmulas diferem entre si apenas nos índices das variáveis, então retirando o índice das variáveis referentes à taxa que queremos obter e atribuindo o índice 0 às variáveis referentes à taxa que possuímos, chegamos à seguinte fórmula:
![](MEx.ashx?aVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnRbbl17KDFccXVhZCtccXVhZCBpXzApXntuXzB9fVxxdWFkLVxxdWFkMQ==)
Ou, se preferirmos eliminar o radical trabalhando apenas com uma potência, temos esta fórmula:
![](MEx.ashx?aVxxdWFkPVxxdWFkKDFccXVhZCtccXVhZCBpXzApXntcZnJhY3tuXzB9e259fVxxdWFkLVxxdWFkMQ==)
Exemplos de Cálculo para a Obtenção de Taxas Efetivas Equivalentes
A taxa efetiva de 21% a.a. equivale a qual taxa efetiva mensal?
Um capital qualquer capitalizado em 21% após 1 ano da aplicação, deve produzir o mesmo montante que o mesmo capital sendo capitalizado mensalmente a uma taxa i por 12 meses.
Os dados que possuímos são os seguintes:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBpXzBccXVhZD1ccXVhZDIxJVxxdWFkIGEuYS5ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgaV8wXHF1YWQ9XHF1YWQwLDIxXHF1YWQgYS5hLlxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIG5fMFxxdWFkPVxxdWFkMVxxdWFkIGFub1xcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIG5ccXVhZD1ccXVhZDEyXHF1YWQgbWVzZXM=)
Substituindo tais valores na fórmula iremos obter a taxa efetiva ao mês:
![](MEx.ashx?aVxxdWFkPVxxdWFkKDFccXVhZCtccXVhZCBpXzApXntcZnJhY3tuXzB9e259fVxxdWFkLVxxdWFkMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBpXHF1YWQ9XHF1YWQoMVxxdWFkK1xxdWFkMCwyMSlee1xmcmFjezF9ezEyfX1ccXVhZC1ccXVhZDFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgaVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnRbMTJdezEsMjF9XHF1YWQtXHF1YWQxXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGlccXVhZFxhcHByb3hccXVhZDEsMDE2XHF1YWQtXHF1YWQxXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGlccXVhZFxhcHByb3hccXVhZDAsMDE2)
Portanto, a taxa efetiva mensal é de aproximadamente 0,016 a.m. ou 1,6% a.m.:
![](MEx.ashx?aVxxdWFkPVxxdWFkMCwwMTZccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgaVxxdWFkPVxxdWFkMCwwMTZccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMDAlXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGlccXVhZD1ccXVhZDEsNiU=)
A taxa efetiva de 21% a.a. equivale a uma taxa efetiva mensal de 1,6% a.m.
A taxa efetiva de 1,8% a.b. equivale a qual taxa efetiva semestral?
Uma certa quantia capitalizada bimestralmente em 1,8% durante 3 bimestres de aplicação, deve produzir o mesmo montante se for capitalizada após 1 semestre a uma taxa i.
Então temos os seguintes dados para utilizar com a fórmula:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBpXzBccXVhZD1ccXVhZDEsOCVccXVhZCBhLmIuXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGlfMFxxdWFkPVxxdWFkMCwwMThccXVhZCBhLmIuXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgbl8wXHF1YWQ9XHF1YWQzXHF1YWQgYmltZXN0cmVzXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgblxxdWFkPVxxdWFkMVxxdWFkIHNlbWVzdHJlXHF1YWQ=)
Os aplicando na fórmula temos:
![](MEx.ashx?aVxxdWFkPVxxdWFkKDFccXVhZCtccXVhZCBpXzApXntcZnJhY3tuXzB9e259fVxxdWFkLVxxdWFkMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBpXHF1YWQ9XHF1YWQoMVxxdWFkK1xxdWFkMCwwMTgpXntcZnJhY3szfXsxfX1ccXVhZC1ccXVhZDFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgaVxxdWFkPVxxdWFkMSwwMTheM1xxdWFkLVxxdWFkMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBpXHF1YWRcYXBwcm94XHF1YWQxLDA1NVxxdWFkLVxxdWFkMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBpXHF1YWRcYXBwcm94XHF1YWQwLDA1NQ==)
Temos então uma taxa efetiva semestral de aproximadamente 0,055 a.s. ou 5,5% a.s.:
![](MEx.ashx?aVxxdWFkPVxxdWFkMCwwNTVccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgaVxxdWFkPVxxdWFkMCwwNTVccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMDAlXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGlccXVhZD1ccXVhZDUsNSU=)
A taxa efetiva de 1,8% a.b. equivale a uma taxa efetiva semestral de 5,5% a.s.
Taxas Proporcionais
Vimos acima que as taxas de 24% a.a. e de 2% a.m. são taxas proporcionais, pois utilizando meses como a unidade de tempo, temos a seguinte proporção:
![](MEx.ashx?XGxhcmdle1xmcmFjezI0fXsxMn1ccXF1YWQ9XHFxdWFkXGZyYWN7Mn17MX19)
É importante observar que no regime de capitalização composta taxas proporcionais não são equivalentes. Como vimos, uma taxa efetiva de 2% a.m. equivale a 26,82418% a.a. e não a 24% a.a.
Note porém, que no regime de capitalização simples taxas proporcionais são equivalentes, neste regime elas produzem o mesmo montante quando aplicadas a um mesmo capital e período.
A taxa de 24% a.a. equivale à taxa de 2% a.m. em uma aplicação a juros simples?
Certamente que sim, por exemplo, vamos verificar o rendimento de uma aplicação de R$ 8.000,00 por 6 meses.
Para isto utilizaremos esta fórmula:
![](MEx.ashx?alxxdWFkPVxxdWFkIENccXVhZFxjZG90XHF1YWQgaVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBu)
À taxa de 24% a.a. temos:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBDXHF1YWQ9XHF1YWQgUiRccXVhZDgwMDAsMDBcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCBpXHF1YWQ9XHF1YWQyNCVccXVhZCBhLmEuXHF1YWRccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezI0fXsxMDB9XHF1YWQgYS5hLlxxdWFkPVxxdWFkMCwyNFxxdWFkIGEuYS5cXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCBuXHF1YWQ9XHF1YWQ2XHF1YWQgbWVzZXNccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezZccXVhZCBtZXNlc317MTJccXVhZCBtZXNlcy9hbm99XHF1YWQ9XHF1YWQwLDVccXVhZCBhbm9z)
Como a taxa de juros está em anos e o período de aplicação em meses, foi preciso convertê-lo de 6 meses para 0,5 anos, a fim de que a unidade de tempo sendo a mesma, possamos realizar os cálculos:
![](MEx.ashx?alxxdWFkPVxxdWFkIENccXVhZFxjZG90XHF1YWQgaVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBuXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGpccXVhZD1ccXVhZDgwMDBccXVhZFxjZG90XHF1YWQwLDI0XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMCw1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGpccXVhZD1ccXVhZDk2MA==)
À taxa de 2% a.m. temos:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBDXHF1YWQ9XHF1YWQgUiRccXVhZDgwMDAsMDBcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCBpXHF1YWQ9XHF1YWQyJVxxdWFkIGEubS5ccXVhZFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7Mn17MTAwfVxxdWFkIGEubS5ccXVhZD1ccXVhZDAsMDJccXVhZCBhLm0uXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgblxxdWFkPVxxdWFkNlxxdWFkIG1lc2Vz)
Portanto:
![](MEx.ashx?alxxdWFkPVxxdWFkIENccXVhZFxjZG90XHF1YWQgaVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBuXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGpccXVhZD1ccXVhZDgwMDBccXVhZFxjZG90XHF1YWQwLDAyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBqXHF1YWQ9XHF1YWQ5NjA=)
A aplicação de R$ 8.000,00 por 6 meses em qualquer uma das taxas proporcionais, rende juros de R$ 960,00 no regime de capitalização simples, portanto ambas as aplicações produzem o mesmo montante de R$ 8.960,00 durante um mesmo período de aplicação e por isto as taxas proporcionais são taxas equivalentes neste regime.
Sim, a taxa de 24% a.a. equivale à taxa de 2% a.m. no regime de capitalzação simples.
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