Radiciação
O tópico em questão agora é a radiciação que é a operação inversa da exponenciação.
Observe a figura em vermelho à direita:![](images/radical.gif)
Esta imagem representa a raiz cúbica de oito. A expressão matemática
é um radical, ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando.
Mas o que significa a raiz cúbica de oito?
Quando estudamos a potenciação, vimos que 23 é igual a 2 . 2 . 2 que é igual a 8. Partimos do número 2 e através de uma multiplicação de 3 fatores iguais a 2, chegamos ao número 8. Agora temos o caminho inverso, a raiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é igual a 8, ou seja, é a operação inversa da potenciação.
Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo
A raiz enésima de a é igual a b, se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbbl17YX1ccXVhZD1ccXVhZCBiXHFxdWFkXHVuZGVybGluZXt9XExlZnRyaWdodGFycm93XHFxdWFkIGJeblxxdWFkPVxxdWFkIGFccXF1YWQgY29tXHFxdWFkXGxlZnRceyBhXHF1YWRcZ2VxXHF1YWQwLFxxcXVhZCBiXHF1YWRcZ2VxXHF1YWQwXHFxdWFkIGVccXF1YWQgblxxdWFkXG5vdD1ccXVhZDBcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCBvdVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGFccXVhZDxccXVhZDAsXHFxdWFkIGJccXVhZDxccXVhZDBccXF1YWQgZVxxcXVhZCBuXHF1YWQgaW1wYXI=)
Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par
Por quê?
Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por
. Segundo a definição temos:
![](MEx.ashx?XHNxcnR7LTE2fVxxdWFkPVxxdWFkIGJccXF1YWRcdW5kZXJsaW5le31cTGVmdHJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgYl4yXHF1YWQ9XHF1YWQtMTY=)
Qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16?
![](MEx.ashx?YlxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBiXHF1YWQ9XHF1YWQtMTY=)
Como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto dos números reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da multiplicação.
A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa
Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto final também será positivo, já se tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em quantidade ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima de a, um número real negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não existirá.
Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como
:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbNV17LTMyfVxxdWFkPVxxdWFkIGJccXF1YWRcdW5kZXJsaW5le31cTGVmdHJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgYl41XHF1YWQ9XHF1YWQtMzI=)
Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o resultado seja -32, é preciso que b seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre será um número negativo.
Neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:
![](MEx.ashx?KC0yKV41XHF1YWQ9XHF1YWQtMzJccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZFxzcXJ0WzVdey0zMn1ccXVhZD0tMg==)
Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado, mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação.
A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva
Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será positiva.
Vamos analisar a
, que se lê raiz quadrada de nove:
![](MEx.ashx?XHNxcnR7OX1ccXVhZD1ccXVhZCBiXHFxdWFkXHVuZGVybGluZXt9XExlZnRyaWdodGFycm93XHFxdWFkIGJeMlxxdWFkPVxxdWFkOQ==)
Logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9.
Mas você pode também se perguntar:
E se for -3? Se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove!
Correto, mas lembra-se da definição da raiz para um radicando positivo?
![](MEx.ashx?XHNxcnRbbl17YX1ccXVhZD1ccXVhZCBiXHFxdWFkXHVuZGVybGluZXt9XExlZnRyaWdodGFycm93XHFxdWFkIGJeblxxdWFkPVxxdWFkIGFccXF1YWQgY29tXHFxdWFkIGFccXVhZFxnZXFccXVhZDAsXHFxdWFkIGJccXVhZFxnZXFccXVhZDBccXF1YWQgZVxxcXVhZCBuXHF1YWRcbm90PVxxdWFkMA==)
Tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos, é por isto que não podemos considerar o -3.
A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula
Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também.
Exemplo:
, pois
.
Propriedades da Radiciação
As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número negativo.
A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário
Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbbl17YV5tfVxxdWFkPVxxdWFkIGFee1xmcmFje219e259fVxxcXVhZFxxcXVhZFxxcXVhZChhXHF1YWRcZ2VxXHF1YWQwXHF1YWRccXF1YWQgZVxxcXVhZCBuXHF1YWRcbm90PVxxdWFkMCk=)
Exemplo:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbN117Ml4zfVxxdWFkPVxxdWFkMl57XGZyYWN7M317N319)
Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.
Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo
Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbbl17YV5tfVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnRbbnBde2Fee21wfX1ccXF1YWRccXF1YWRccXF1YWQoYVxxdWFkXGdlcVxxdWFkMFxxdWFkXHFxdWFkIGVccXF1YWQgcFxxdWFkXG5vdD1ccXVhZDAp)
Exemplos:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117NV4yfVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnRbezNcY2RvdDR9XXs1XnsyXGNkb3Q0fX1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0WzEyXXs1Xjh9)
![](MEx.ashx?XHNxcnRbMTVdezI3XnsxMH19XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFt7MTVcZGl2NX1dezI3XnsxMFxkaXY1fX1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0WzNdezI3XjJ9)
Raiz de uma Potência
A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbbl17YV57bX19XHF1YWQ9XHF1YWQoXHNxcnRbbl17YX0pXnttfVxxcXVhZFxxcXVhZFxxcXVhZChhXHF1YWRcZ2VxXHF1YWQwXHFxdWFkIGVccXF1YWQgblxxdWFkXG5vdD1ccXVhZDAp)
Exemplo:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbNV17Ml57M319XHF1YWQ9XHF1YWQoXHNxcnRbNV17Mn0pXnszfQ==)
Produto de Radicais de Mesmo Índice
O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbbl17YX1ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydFtuXXtifVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnRbbl17YVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBifVxxcXVhZFxxcXVhZFxxcXVhZChhXHF1YWRcZ2VxMFxxcXVhZCBlXHFxdWFkIGJccXVhZFxnZXFccXVhZDBccXF1YWQgZVxxcXVhZCBuXHF1YWRcbm90PVxxdWFkMCk=)
Exemplo:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117OH1ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydFszXXsyN31ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0WzNdezhccXVhZFxjZG90XHF1YWQyN30=)
Vamos verificar:
![](MEx.ashx?XGxlZnRce1xzcXJ0WzNdezh9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnRbM117Mjd9XHF1YWQ9XHF1YWQyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkM1xxdWFkPVxxdWFkNlxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcc3FydFszXXs4XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMjd9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFszXXsyMTZ9XHF1YWQ9XHF1YWQ2)
Divisão de Radicais de Mesmo Índice
O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbbl17YX1ccXVhZFxkaXZccXVhZFxzcXJ0W25de2J9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFtuXXthXHF1YWRcZGl2XHF1YWQgYn1ccXF1YWRccXF1YWRccXF1YWQoYVxxdWFkXGdlcTBccXF1YWQgZVxxcXVhZCBiXHF1YWRcZ2VxXHF1YWQwXHFxdWFkIGVccXF1YWQgblxxdWFkXG5vdD1ccXVhZDAp)
Exemplo:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117MTAwMH1ccXVhZFxkaXZccXVhZFxzcXJ0WzNdezEyNX1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0WzNdezEwMDBccXVhZFxkaXZccXVhZDEyNX0=)
Verificando:
![](MEx.ashx?XGxlZnRce1xzcXJ0WzNdezEwMDB9XHF1YWRcZGl2XHF1YWRcc3FydFszXXsxMjV9XHF1YWQ9XHF1YWQxMFxxdWFkXGRpdlxxdWFkNVxxdWFkPVxxdWFkMlxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcc3FydFszXXsxMDAwXHF1YWRcZGl2XHF1YWQxMjV9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFszXXs4fVxxdWFkPVxxdWFkMg==)
Simplificação de Radicais Através da Fatoração
Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.
Vamos simplificar
decompondo 91125 em fatores primos:
![](MEx.ashx?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)
Como 91125 = 36 . 53 podemos dizer que:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117OTExMjV9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFszXXszXjZccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1XjN9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydFszXXszXjZ9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnRbM117NV4zfQ==)
Repare que tanto o expoente do fator 36, quanto o expoente do fator 53 são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117M142fVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0WzNdezVeM31ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0WzNcZGl2M117M157NlxkaXYzfX1ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydFszXGRpdjNdezVeezNcZGl2M319XHF1YWQ9XHF1YWQzXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1XHF1YWQ9XHF1YWQ0NQ==)
Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.
Vejamos agora o caso do radical
:
![](MEx.ashx?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)
Logo 2205 = 32 . 5 . 72, então:
![](MEx.ashx?XHNxcnR7MjIwNX1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezNeMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDVccXVhZFxjZG90XHF1YWQ3XjJ9)
Como os expoentes dos fatores 32 e 72 são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:
![](MEx.ashx?XHNxcnR7M14yXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDdeMn1ccXVhZD1ccXVhZDNccXVhZFxjZG90XHF1YWQ3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnR7NX1ccXVhZD1ccXVhZDIxXHNxcnR7NX0=)
Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.
Agora vamos analisar o número
:
![](MEx.ashx?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)
Note que 729 = 36, então:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbNV17NzI5fVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnRbNV17M142fQ==)
Neste caso o expoente de 36 não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbNV17M142fVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnRbNV17M141XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkM30=)
Repare que agora o expoente do fator 35 é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbNV17M141XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkM31ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0WzVdezNeNX1ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydFs1XXszfVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnRbNVxkaXY1XXszXns1XGRpdjV9fVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0WzVdezN9XHF1YWQ9XHF1YWQzXHNxcnRbNV17M30=)
Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical
. O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:
Simplifique
.
Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2 do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbN117NV57MTh9fVxxdWFkPVxxdWFkNV4yXHNxcnRbN117NV40fQ==)
Logo:
![](MEx.ashx?NV4yXHNxcnRbN117NV40fVxxdWFkPVxxdWFkMjVcc3FydFs3XXs2MjV9)
Outro exemplo, simplifique
.
A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbNV17NF57MTV9fVxxdWFkPVxxdWFkNF4zXHNxcnRbNV17NF4wfVxxdWFkPVxxdWFkNjRcc3FydFs1XXsxfVxxdWFkPVxxdWFkNjQ=)
Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbNV17NF57MTV9fVxxdWFkPVxxdWFkNF4zXHF1YWQ9XHF1YWQ2NA==)
Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por exemplo, em
, a simplificação não poderá ser realizada.
![](images/h700.gif)