Potências da Unidade Imaginária
No desenvolvimento da multiplicação de números complexos, em um dado momento para darmos continuidade na realização da operação necessitamos saber que i2 = -1, mas como podemos simplificar a expressão abaixo?
![](MEx.ashx?M1xxdWFkK1xxdWFkOGleMlxxdWFkLVxxdWFkNmlccXVhZCtccXVhZDRpXjNccXVhZC1ccXVhZDdpXjg=)
Para fazê-lo precisamos conhecer o valor de outras potências de i.
Vamos observar a figura abaixo:
![](images/PotenciasI.gif)
Nela notamos que as quatro primeiras potências têm resultados idênticos às respectivas quatro potências seguintes, o mesmo ocorre entre estas e as próximas quatro potências e assim por diante repetindo o ciclo a cada quatro potências.
Tal ocorrência obedece a uma lei de formação muito simples.
Considere o resto da divisão do expoente da potência de i por 4.
Para um resto r igual a 0, 1, 2 ou 3, temos uma potência igual a 1, i, -1 ou -i respectivamente:
r | ir |
0 | i0 = 1 |
1 | i1 = i |
2 | i2 = -1 |
3 | i3 = -i |
Por exemplo, para o expoente 8 temos que i8 = 1, pois o resto da divisão de 8 por 4 é igual 0, já que oito é divisível por quatro, e segundo a tabela acima, para um resto igual a 0 temos que a potência i8 é igual a 1:
![](MEx.ashx?aV44XHF1YWQ9XHF1YWQgaV4wXHF1YWQ9XHF1YWQx)
Simplificando a Expressão Exemplo
Agora que sabemos que i2 = -1, i3 = -i e i8 = 1, podemos simplificar a expressão que vimos no começo deste artigo:
![](MEx.ashx?M1xxdWFkK1xxdWFkOGleMlxxdWFkLVxxdWFkNmlccXVhZCtccXVhZDRpXjNccXVhZC1ccXVhZDdpXjhccXVhZD1cXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXD1ccXVhZDNccXVhZCtccXVhZDhccXVhZFxjZG90XHF1YWQoLTEpXHF1YWQtXHF1YWQ2aVxxdWFkK1xxdWFkNFxxdWFkXGNkb3RccXVhZCgtaSlccXVhZC1ccXVhZDdccXVhZFxjZG90XHF1YWQoMSlccXVhZD1ccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcPVxxdWFkM1xxdWFkLVxxdWFkOFxxdWFkLVxxdWFkNmlccXVhZC1ccXVhZDRpXHF1YWQtXHF1YWQ3XHF1YWQ9XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFw9XHF1YWQtMTJccXVhZC1ccXVhZDEwaQ==)
Portanto:
![](MEx.ashx?M1xxdWFkK1xxdWFkOGleMlxxdWFkLVxxdWFkNmlccXVhZCtccXVhZDRpXjNccXVhZC1ccXVhZDdpXjhccXVhZD1ccXVhZC0xMlxxdWFkLVxxdWFkMTBp)
![](images/h700.gif)