Potências da Unidade Imaginária

No desenvolvimento da multiplicação de números complexos, em um dado momento para darmos continuidade na realização da operação necessitamos saber que i2 = -1, mas como podemos simplificar a expressão abaixo?

Para fazê-lo precisamos conhecer o valor de outras potências de i.

Vamos observar a figura abaixo:

Nela notamos que as quatro primeiras potências têm resultados idênticos às respectivas quatro potências seguintes, o mesmo ocorre entre estas e as próximas quatro potências e assim por diante repetindo o ciclo a cada quatro potências.

Tal ocorrência obedece a uma lei de formação muito simples.

Considere o resto da divisão do expoente da potência de i por 4.

Para um resto r igual a 0, 1, 2 ou 3, temos uma potência igual a 1, i, -1 ou -i respectivamente:

 r  ir 
 0  i0 = 1 
 1  i1 = i 
 2  i2 = -1 
 3  i3 = -i 

Por exemplo, para o expoente 8 temos que i8 = 1, pois o resto da divisão de 8 por 4 é igual 0, já que oito é divisível por quatro, e segundo a tabela acima, para um resto igual a 0 temos que a potência i8 é igual a 1:


Simplificando a Expressão Exemplo

Agora que sabemos que i2 = -1, i3 = -i e i8 = 1, podemos simplificar a expressão que vimos no começo deste artigo:

Portanto: