Racionalização de Denominadores
A racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional.
Conseguimos isto realizando algumas operações que eliminam o radical do denominador.
Iremos analisar três casos em particular.
Quando o Denominador é uma Raiz Quadrada
Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com índice igual a dois.
Vamos analisar a seguinte fração:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MX17XHNxcnR7NX19)
É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos
por ele mesmo. Vejamos:
![](MEx.ashx?XHNxcnR7NX1ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydHs1fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxzcXJ0ezVccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxzcXJ0ezVeezErMX19XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXHNxcnR7NV4yfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDVee1xmcmFjezJ9ezJ9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDVeMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDU=)
Partimos de
e chegamos a 5.
A conversão foi realizada em bem mais passos que o necessário, apenas para que você se recorde das principais propriedades da radiciação, que torna a conversão possível.
Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois
e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MX17XHNxcnR7NX19XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7MVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0ezV9fXtcc3FydHs1fVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0ezV9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFje1xzcXJ0ezV9fXs1fQ==)
Neste nosso exemplo
é o fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.
Genericamente o fator racionalizante de um denominador
é o próprio
.
Exemplos
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MzB9e1xzcXJ0ezE1fX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3szMFxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0ezE1fX17XHNxcnR7MTV9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnR7MTV9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezMwXHNxcnR7MTV9fXsxNX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQyXHNxcnR7MTV9)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7N317M1xzcXJ0ezIxfX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3s3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnR7MjF9fXszXHNxcnR7MjF9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnR7MjF9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezdcc3FydHsyMX19ezNccXVhZFxjZG90XHF1YWQyMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3tcc3FydHsyMX19ezl9)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7NlxxdWFkK1xxdWFkXHNxcnR7M319e1xzcXJ0ezN9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjeyg2XHF1YWQrXHF1YWRcc3FydHszfSlccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydHszfX17XHNxcnR7M31ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydHszfX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3s2XHNxcnR7M31ccXVhZCtccXVhZFxzcXJ0ezN9XHNxcnR7M319ezN9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7NlxzcXJ0ezN9XHF1YWQrXHF1YWQzfXszfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezZcc3FydHszfX17M31ccXVhZFxxdWFkK1xxdWFkXGZyYWN7M317M31ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQyXHNxcnR7M31ccXVhZCtccXVhZDE=)
Quando o Denominador é uma Raiz Não Quadrada
Agora vamos tratar um caso cujo índice seja diferente de dois, ou seja, um caso onde não temos uma raiz quadrada.
Observe a fração a seguir:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MX17XHNxcnRbM117NX19)
Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117NX1ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydFszXXs1fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxzcXJ0WzNdezVccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxzcXJ0WzNdezVeezErMX19XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXHNxcnRbM117NV4yfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDVee1xmcmFjezJ9ezN9fQ==)
Perceba que no caso anterior havíamos partido de
e passamos por 51, o que nos permitiu chegarmos a 5.
Note que neste caso, porém, partindo-se de
chegamos a
e como 2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.
Então o que precisamos fazer?
Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a
e não a
.
Qual fator é este?
É muito simples. Veja o ponto chave abaixo:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117NV57MSs/fX1c)
Qual é o número que somado a 1 dá 3?
É dois, pois 3 - 1 = 2.
Então o fator racionalizante da fração é
, pois:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117NX1ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydFszXXs1XjJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXHNxcnRbM117NVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDVeMn1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcc3FydFszXXs1XnsxKzJ9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxzcXJ0WzNdezVeM31ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ1XntcZnJhY3szfXszfX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ1XjFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ1)
Logo:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MX17XHNxcnRbM117NX19XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7MVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0WzNdezVeMn19e1xzcXJ0WzNdezV9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnRbM117NV4yfX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3tcc3FydFszXXs1XjJ9fXtcc3FydFszXXs1XnsxKzJ9fX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3tcc3FydFszXXs1XjJ9fXtcc3FydFszXXs1XjN9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFje1xzcXJ0WzNdezVeMn19ezV9)
Podemos então concluir que o fator racionalizante de um denominador
é igual a
.
Exemplos
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MjF9e1xzcXJ0WzVdezdeMn19XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7MjFccXVhZFxjZG90XHF1YWRcc3FydFs1XXs3XjN9fXtcc3FydFs1XXs3XjJ9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnRbNV17N14zfX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3syMVxzcXJ0WzVdezdeM319e1xzcXJ0WzVdezdeezIrM319fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezIxXHNxcnRbNV17N14zfX17XHNxcnRbNV17N141fX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3syMVxzcXJ0WzVdezdeM319ezd9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkM1xzcXJ0WzVdezdeM30=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7OX17XHNxcnRbN117MTFeM319XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7OVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0WzddezExXjR9fXtcc3FydFs3XXsxMV4zfVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0WzddezExXjR9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezlcc3FydFs3XXsxMV40fX17XHNxcnRbN117MTFeezMrNH19fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezlcc3FydFs3XXsxMV40fX17XHNxcnRbN117MTFeN319XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7OVxzcXJ0WzddezExXjR9fXsxMX0=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7M317XHNxcnRbM117Nl43fX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3szXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnRbM117Nl57LTR9fX17XHNxcnRbM117Nl43fVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0WzNdezZeey00fX19XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7M1xzcXJ0WzNdezZeey00fX19e1xzcXJ0WzNdezZeezctNH19fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezNcc3FydFszXXs2XnstNH19fXtcc3FydFszXXs2XjN9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezNcc3FydFszXXs2XnstNH19fXs2fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFje1xzcXJ0WzNdezZeey00fX19ezJ9)
Quando o Denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados
Agora no último caso a ser tratado, veremos como devemos proceder quando no denominador da fração temos uma soma ou diferença de um ou dois radicais com índice igual a 2.
Vejamos a fração abaixo:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MX17XHNxcnR7M31ccXVhZCtccXVhZFxzcXJ0ezV9fQ==)
Como pode observar, os métodos analisados acima não nos permitem racionalizar este tipo de fração. Para fazê-lo precisamos recorrer a um produto notável, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos.
Mais especificamente, neste produto notável, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Algebricamente temos:
![](MEx.ashx?KGFccXVhZCtccXVhZCBiKVxxdWFkXGNkb3RccXVhZChhXHF1YWQtXHF1YWQgYilccXVhZD1ccXVhZCBhXjJccXVhZC1ccXVhZCBiXjI=)
Conseguiu perceber como podemos utilizar este conceito para racionalizarmos a fração proposta?
Parabéns se conseguiu, mas se não conseguiu tudo, daqui a pouco você estará apto a fazê-lo.
Vamos ver o que acontece quando substituímos a por
e b por
:
![](MEx.ashx?KFxzcXJ0ezN9XHF1YWQrXHF1YWRcc3FydHs1fSlccXVhZFxjZG90XHF1YWQoXHNxcnR7M31ccXVhZC1ccXVhZFxzcXJ0ezV9KVxxdWFkPVxxdWFkXGxlZnRcKFxzcXJ0ezN9XHJpZ2h0XCleMlxxdWFkLVxxdWFkXGxlZnRcKFxzcXJ0ezV9XHJpZ2h0XCleMlxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkKFxzcXJ0ezN9XHF1YWQrXHF1YWRcc3FydHs1fSlccXVhZFxjZG90XHF1YWQoXHNxcnR7M31ccXVhZC1ccXVhZFxzcXJ0ezV9KVxxdWFkPVxxdWFkM1xxdWFkLVxxdWFkNQ==)
Percebeu agora?
Observe que originalmente tínhamos a expressão
que multiplicamos por
, perceba que invertemos o sinal, trocamos "+" por "-", se tivéssemos "-", o teríamos trocado por "+".
Como elevamos
e
ao quadrado, eliminamos assim os radicais.
Como nos casos anteriores, devemos multiplicar ambos os termos da fração pelo fator racionalizante, que neste exemplo é
:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MX17XHNxcnR7M31ccXVhZCtccXVhZFxzcXJ0ezV9fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezFccXVhZFxjZG90XHF1YWQoXHNxcnR7M31ccXVhZC1ccXVhZFxzcXJ0ezV9KX17KFxzcXJ0ezN9XHF1YWQrXHF1YWRcc3FydHs1fSlccXVhZFxjZG90XHF1YWQoXHNxcnR7M31ccXVhZC1ccXVhZFxzcXJ0ezV9KX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcZnJhY3tcc3FydHszfVxxdWFkLVxxdWFkXHNxcnR7NX19ezNccXVhZC1ccXVhZDV9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7XHNxcnR7M31ccXVhZC1ccXVhZFxzcXJ0ezV9fXstMn0=)
Neste último caso o fator racionalizante de um denominador
será
e vice-versa.
Exemplos
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7NX17NlxxdWFkLVxxdWFkXHNxcnR7N319XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7NSg2XHF1YWQrXHF1YWRcc3FydHs3fSl9eyg2XHF1YWQtXHF1YWRcc3FydHs3fSkoNlxxdWFkK1xxdWFkXHNxcnR7N30pfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezMwXHF1YWQrXHF1YWQ1XHNxcnR7N319ezM2XHF1YWQtXHF1YWQ3fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezMwXHF1YWQrXHF1YWQ1XHNxcnR7N319ezI5fQ==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7NX17XHNxcnR7MjN9XHF1YWQrXHF1YWRcc3FydHsxM319XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7NShcc3FydHsyM31ccXVhZC1ccXVhZFxzcXJ0ezEzfSl9eyhcc3FydHsyM31ccXVhZCtccXVhZFxzcXJ0ezEzfSkoXHNxcnR7MjN9XHF1YWQtXHF1YWRcc3FydHsxM30pfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezUoXHNxcnR7MjN9XHF1YWQtXHF1YWRcc3FydHsxM30pfXsyM1xxdWFkLVxxdWFkMTN9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGZyYWN7NShcc3FydHsyM31ccXVhZC1ccXVhZFxzcXJ0ezEzfSl9ezEwfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFje1xzcXJ0ezIzfVxxdWFkLVxxdWFkXHNxcnR7MTN9fXsyfQ==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?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)
Neste último exemplo convertemos tanto 18 em 2 . 32, quanto 12 em 22 . 3 através da decomposição em fatores primos, que você pode revisar se for o caso. Nós também disponibilizamos no site uma calculadora para a fatoração de números naturais, que pode lhe ajudar muito a entender melhor como funciona o método de decomposição de um número natural em seus fatores primos.
![](images/h700.gif)