Conjunto dos Números Complexos
Números Imaginários
No conjunto dos números reais (
) a
é igual a 5, mas qual é a
?
Como sabemos, não existe a raiz quadrada real de um radicando negativo com índice par. No conjunto dos números reais o máximo que podemos fazer é simplificar o radical desta forma:
![](MEx.ashx?XHNxcnR7LTI1fVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnR7LTFccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1XjJ9XHF1YWQ9XHF1YWQ1XHNxcnR7LTF9)
Ainda assim o fator
não é um número real, pois o radicando -1 é um número negativo.
Para maiores informações sobre como retiramos o número 5 do radical, você pode consultar o nosso artigo sobre a radiciação e suas propriedades.
Unidade Imaginária
A solução para este tipo problema surgiu com a criação dos números imaginários, cuja unidade imaginária representada pela letra i, é igual a
.
Utilizando-se do conceito de número imaginário podemos dizer que a
é igual a 5i, pois:
![](MEx.ashx?XHNxcnR7LTI1fVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnR7LTFccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1XjJ9XHF1YWQ9XHF1YWQ1XHNxcnR7LTF9XHF1YWQ9XHF1YWQ1aQ==)
Agora vamos solucionar a equação do segundo grau abaixo:
![](MEx.ashx?XHF1YWQgeF4yXHF1YWQrXHF1YWQyIHhccXVhZCtccXVhZDVccXVhZD1ccXVhZDA=)
O primeiro passo é calcularmos o seu discriminante:
![](MEx.ashx?XERlbHRhXHF1YWQ9XHF1YWQgYl4yXHF1YWQtXHF1YWQ0YWNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcRGVsdGFccXVhZD1ccXVhZFxsZWZ0KDJccmlnaHQpXjJccXVhZC1ccXVhZDRccXVhZFxjZG90XHF1YWQxXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZA==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcRGVsdGFccXVhZD1ccXVhZDRccXVhZC1ccXVhZDIwXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcRGVsdGFccXVhZD1ccXVhZC0xNg==)
Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais:
![](MEx.ashx?XHF1YWQgeF4yXHF1YWQrXHF1YWQyIHhccXVhZCtccXVhZDVccXVhZD1ccXVhZDBccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjey0yXHF1YWRccG1ccXVhZFxzcXJ0ey0xNn19ezJccXVhZFxjZG90XHF1YWQxfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3stMlxxdWFkXHBtXHF1YWRcc3FydHstMVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDReMn19ezJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjey0yXHF1YWRccG1ccXVhZDRcc3FydHstMX19ezJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvdw==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7LTJ9ezJ9XHF1YWRccG1ccXVhZFxmcmFjezRcc3FydHstMX19ezJ9XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkLTFccXVhZFxwbVxxdWFkMlxzcXJ0ey0xfQ==)
Mas possui raízes imaginárias ao substituirmos
por i:
![](MEx.ashx?eFxxdWFkPVxxdWFkLTFccXVhZFxwbVxxdWFkMlxzcXJ0ey0xfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWQtMVxxdWFkXHBtXHF1YWQyaVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsZWZ0XHt4XzFccXVhZD1ccXVhZC0xXHF1YWQrXHF1YWQyaVxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXFwgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWQtMVxxdWFkLVxxdWFkMmk=)
Nos dois exemplos acima,
e
, temos um radicando que é o valor simétrico de um quadrado perfeito, ou seja, o oposto de 25 e de 16, que são quadrados perfeitos, mas mesmo que não o fossem, ainda assim poderíamos trabalhar com o conceito de números imaginários.
Vejamos o exemplo do número
:
![](MEx.ashx?XHNxcnR7LTEzfVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnR7LTFccXVhZFxjZG90XHF1YWQxM31ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ey0xfVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0ezEzfVxxdWFkPVxxdWFkIGlcc3FydHsxM30=)
Observe que não eliminamos o radical, pois o número 13 não é um quadrado perfeito, mas agora temos um radicando positivo.
Quadrado perfeito é qualquer número inteiro maior ou igual a zero, que podemos representar pelo quadrado de um número também inteiro, por exemplo, 144 é um quadrado perfeito, pois: 144 = 122
Há casos em que alguns fatores do número saem do radical e outros fatores não. Veja o exemplo do número
:
![](MEx.ashx?XHF1YWRcc3FydHstMjR9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHstMVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDJeM1xxdWFkXGNkb3RccXVhZDN9XHF1YWQ9XHF1YWQyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnR7LTF9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXHNxcnR7MlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDN9XHF1YWQ9XHF1YWQyaVxzcXJ0ezZ9XHF1YWQ9XHF1YWQyXHNxcnR7Nn1p)
Números Complexos
Ao estudarmos os conjuntos numéricos fundamentais vimos que os números racionais podem ser expressos na forma de uma fração, com numerador e denominador inteiros e com denominador diferente de zero:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7YX17Yn1ccXVhZFxpblxxdWFkXG1hdGhiYntRfSxccXVhZCBhXHF1YWRcaW5ccXVhZFxtYXRoYmJ7Wn0sXHF1YWQgYlxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1p9XHF1YWQgZVxxdWFkIGJccXVhZFxub3Q9XHF1YWQw)
De forma semelhante os números complexos podem ser representados por meio de uma expressão algébrica:
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkIGFccXVhZCtccXVhZCBiaQ==)
Sendo a e b números reais e i a unidade imaginária.
a é a parte real do número complexo z e bi é a sua parte imaginária.
Definimos o conjunto dos números complexos como:
![](MEx.ashx?XG1hdGhiYntDfVxxdWFkPVxxdWFkXHt6XHF1YWQ9XHF1YWQgYVxxdWFkK1xxdWFkIGJpOlxxdWFkIGEsXHF1YWQgYlxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9XHF1YWQgZVxxdWFkIGleMlxxdWFkPVxxdWFkLTFcfQ==)
O conjunto dos números reais (
) e o conjunto dos números imaginários (
) são subconjuntos do conjunto dos números complexos (
). Em função disto um número complexo pode ser imaginário, imaginário puro ou real.
Exemplos de Números Imaginários
Para a ≠ 0 e b ≠ 0 temos um número imaginário:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkOFxxdWFkK1xxdWFkNGk=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkLTNccXVhZCtccXVhZDJp)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkN1xxdWFkLVxxdWFkNmk=)
Como podemos observar um número imaginário possui uma parte real e outra imaginária.
Exemplos de Números Imaginários Puros
Para a = 0 e b ≠ 0 temos um número imaginário puro:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkMFxxdWFkK1xxdWFkNWlccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgelxxdWFkPVxxdWFkNWk=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkMFxxdWFkLVxxdWFkM2lccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgelxxdWFkPVxxdWFkLTNp)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkMFxxdWFkK1xxdWFkIGlcc3FydHsyfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB6XHF1YWQ9XHF1YWQgaVxzcXJ0ezJ9)
Números imaginários puros possuem apenas a parte imaginária.
Exemplos de Números Reais
Para a ≠ 0 e b = 0 temos um número real:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkM1xxdWFkK1xxdWFkMGlccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgelxxdWFkPVxxdWFkMw==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkLTJccXVhZCtccXVhZDBpXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHpccXVhZD1ccXVhZC0y)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnR7M31ccXVhZCtccXVhZDBpXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHpccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezN9)
Números reais não possuem a parte imaginária.
Conjugado de um Número Complexo
O conjugado de um número complexo
é o número complexo
.
Observe que tanto z, quanto o seu conjugado possuem a mesma parte real, mas as partes imaginárias são opostas. Quando ambas as partes, real e imaginária, são iguais, os números também o são. A igualdade só ocorre nestas condições.
As raízes imaginárias x1 e x2 da equação x2 + 2x + 5 = 0, solucionada mais acima, são conjugadas uma da outra:
![](MEx.ashx?XGxlZnRce3hfMVxxdWFkPVxxdWFkLTFccXVhZCtccXVhZDJpXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxcXCB4XzJccXVhZD1ccXVhZC0xXHF1YWQtXHF1YWQyaQ==)
![](MEx.ashx?XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeF8xXHF1YWQ9XHF1YWRcb3ZlcmxpbmV7eF8yfSxccXF1YWRccXF1YWRcb3ZlcmxpbmV7eF8xfVxxdWFkPVxxdWFkIHhfMlxxcXVhZA==)
Exemplos de Números Complexos e seu Conjugado
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkN2lccXF1YWQgZVxxcXVhZFxvdmVybGluZXt6fVxxdWFkPVxxdWFkLTdp)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkM1xxdWFkK1xxdWFkMmlccXF1YWQgZVxxcXVhZFxvdmVybGluZXt6fVxxdWFkPVxxdWFkM1xxdWFkLVxxdWFkMmk=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?elxxdWFkPVxxdWFkLThccXVhZC1ccXVhZDVpXHFxdWFkIGVccXF1YWRcb3ZlcmxpbmV7en1ccXVhZD1ccXVhZC04XHF1YWQrXHF1YWQ1aQ==)
Conjuntos Numéricos em Diagrama
No diagrama abaixo observamos que o conjunto dos números reais (
) é um subconjunto do conjunto dos números complexos (
).
![](images/diagCNCx.gif)
Através deste diagrama podemos concluir que todo número real é complexo, mas nem todo número complexo é real, pois um número complexo pode possuir uma parte imaginária, mas os números reais não a possuem.
![](images/h700.gif)