Exercícios resolvidos - Conjuntos Numéricos Fundamentais
Para maiores informações teóricas sobre este assunto veja também:Conjuntos Numéricos Fundamentais
1) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o número
?
Sabemos que
é igual a 8.
A trabalharmos com conjuntos utilizamos o símbolo
para indicar que um elemento pertence a um conjunto, assim como utilizamos o símbolo
para indicar que um elemento não pertence a um determinado conjunto. Assim sendo temos:
(oito pertence ao conjunto dos números naturais), pois como sabemos 8 é um número natural;
(oito pertence ao conjunto dos números inteiros), pois é sabido que os números naturais são um subconjunto dos números inteiros, sabemos que
;
(oito pertence ao conjunto dos números racionais), pois podemos representar 8 como
que é uma fração com numerador e denominador pertencentes ao conjunto dos números naturais, condição necessária para que um número pertença ao conjunto dos números racionais.
(oito não pertence ao conjunto dos números irracionais), pois como 64 é um número natural que é também um quadrado perfeito,
não é um número irracional, pois
. De fato 8 ou
jamais poderiam ser irracionais, pois como visto acima, eles são racionais (
) e nenhum número racional é também irracional e vice-versa.
(oito pertence ao conjunto dos números reais), pois o conjunto dos números racionais é um subconjunto dos números reais (
).
Através do diagrama visto na parte teórica, facilmente podemos resolver este problema de forma visual ao identificarmos que
(ou 8) é um número natural.
Portanto:
![Resposta](images/circlegreen.gif)
não pertence ao conjunto dos números irracionais (
).
2) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o número
?
3) Existe raiz quadrada de número primo que não seja irracional?
Vimos que a raiz quadrada de um número natural pode ser tanto natural, quanto irracional, mas para que a raiz seja natural, o número deve ser um quadrado perfeito.
Para que um número seja primo é preciso que além de natural ele possua exatamente apenas dois divisores distintos, o número um e ele próprio.
Falando em termos de conjuntos, a intersecção do conjunto dos números primos com o conjunto natural dos quadrados perfeitos é igual ao conjunto vazio (
), ou seja, um número primo não pode ser um quadrado perfeito e vice-versa.
Assim sendo:
Não existe raiz quadrada de número primo que não seja irracional.
4) Se a e b são números pertencentes a
e
, a quais conjuntos numéricos fundamentais podemos afirmar com certeza que x pertence, quaisquer que sejam os valores de a e b?
A partir do enunciado, podemos chamar de A o conjunto ao qual x pertence e representá-lo por ![](MEx.ashx?QVxxdWFkPVxxdWFkXHtccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tifXthfVxxdWFkfFxxdWFkIGFccXVhZFxpblxxdWFke1xtYXRoYmJ7Wn1eKn1ccXVhZCBlXHF1YWQgYlxxdWFkXGluXHF1YWR7XG1hdGhiYntafV4qfVxxdWFkXH0=)
Sabemos que, dentre outras formas, podemos representar o conjunto dos números racionais por ![](MEx.ashx?e1xtYXRoYmJ7UX19XHF1YWQ9XHF1YWRce1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje2J9e2F9XHF1YWR8XHF1YWQgYVxxdWFkXGluXHF1YWR7XG1hdGhiYntafV4qfVxxdWFkIGVccXVhZCBiXHF1YWRcaW5ccXVhZHtcbWF0aGJie1p9fVxxdWFkXH0=)
Como podemos observar, A é um subconjunto de
, isto é, ![](MEx.ashx?QVxxdWFkXHN1YnNldFxxdWFkXG1hdGhiYntRfQ==)
Sabemos também que ![](MEx.ashx?XG1hdGhiYntRfVxxdWFkXHN1YnNldFxxdWFkXG1hdGhiYntSfQ==)
Assim sendo:
Podemos afirmar com certeza que
e
.
5) Se A é um subconjunto de
e B está contido em
, a intersecção destes conjuntos possui infinitos elementos?
Do enunciado temos que:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7QVxxdWFkXHN1YnNldFxxdWFkXG1hdGhiYntRfVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIEJccXVhZFxzdWJzZXRccXVhZFxtYXRoYmJ7SX0=)
É sabido que tal como óleo e água, os elementos dos conjuntos dos números racionais e irracionais não se misturam, ou seja, a intersecção entre ele é o conjunto vazio, pois não há um único número sequer que sendo racional seja também irracional e vice-versa, os elementos destes conjuntos são mutuamente exclusivos: ![](MEx.ashx?XG1hdGhiYntRfVxxdWFkXGJpZ2NhcFxxdWFkXG1hdGhiYntJfVxxdWFkPVxxdWFkXExhcmdlXGVtcHR5c2V0)
Portanto:
A intersecção entre os conjuntos A e B não possui infinitos elementos.
6) Se
e
, tem-se que
?
![](images/h700.gif)