Notação Científica
Ao estudarmos os logaritmos decimais vimos que eles são uma forma de se escrever números reais positivos como potências de 10. Por exemplo,
, pois
. O logaritmo decimal é o expoente da base 10.
A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10.
Mantissa e Ordem de Grandeza
Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato:
![](MEx.ashx?YVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXmI=)
Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que 10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um numero inteiro.
Exemplos de Números Escritos em Notação Científica
Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.
A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número.
Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas.
Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativa.
Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:
![](MEx.ashx?MiwwNDhccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4z)
2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.
Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 103 como compensação.
Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:
![](MEx.ashx?NCw5XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0zfQ==)
Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10-3. Veja que neste caso a ordem de grandeza é negativa.
Veja o número 1 escrito em notação científica:
![](MEx.ashx?MVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjA=)
Como a vírgula não sofreu deslocamento nem para a direita, nem para a esquerda, a ordem de grandeza é igual a 0.
Outros Exemplos de Números Escritos em Notação Científica
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MCwwMDAzOTFccXVhZD1ccXVhZDMsOTFccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF57LTR9)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MCwwMDQ2NzVccXVhZD1ccXVhZDQsNjc1XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0zfQ==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XCEtMCwwMTJccXVhZD1ccXVhZC0xLDJccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF57LTJ9)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MCw3NTNccXVhZD1ccXVhZDcsNTNccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF57LTF9)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?Miw4NlxxdWFkPVxxdWFkMiw4NlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjA=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XCEtMzQsNTdccXVhZD1ccXVhZC0zLDQ1N1xxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjE=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MTgwLDRccXVhZD1ccXVhZDEsODA0XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMg==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XCEtMjM0NSw2N1xxdWFkPVxxdWFkLTIsMzQ1NjdccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4z)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NjU1MzZccXVhZD1ccXVhZDYsNTUzNlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjQ=)
Note que em todos os exemplos acima o valor absoluto da mantissa é igual ou maior que 1 e menor que 10 e que a ordem de grandeza é um número inteiro.
Observe que 12,5 . 10-1 e 4,7 . 102,5 são exemplos de números que não estão escritos corretamente em notação científica.
No primeiro exemplo a mantissa 12,5 é maior que 10.
No segundo exemplo a ordem de grandeza 2,5 não é um número inteiro.
Mudando a Posição da Vírgula e Ajustando o Expoente
Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser posicionada à direita do primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso o procedimento a ser realizado é o seguinte:
Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente.
Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente.
Como visto acima, 12,5 . 10-1 não está na forma padronizada, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e também acrescentar 1 unidade ao expoente, o que resulta em 1,25 . 100.
No caso do número 0,0078 . 105 precisamos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e subtrair 3 unidades do expoente, resultando em 7,8 . 102.
Operações Envolvendo Notação Científica
Adição
Para somarmos diversos números em notação científica é necessário que todos eles possuam a mesma ordem de grandeza.
Se houver diferença, devemos realizar uma conversão para igualar o expoente das potências de 10.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MSw3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxdWFkK1xxdWFkMiwzNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zXHF1YWQrXHF1YWQzLDQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0xfQ==)
Para realizar esta soma vamos deixar todas as potências com o expoente 2.
A primeira parcela permanece inalterada:
![](MEx.ashx?MSw3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlw=)
No caso da segunda parcela precisamos reduzir o expoente de 3 para 2, então a vírgula na mantissa será deslocada uma posição para direita:
![](MEx.ashx?MiwzNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMjMsNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4y)
Esta operação é o mesmo que multiplicar a mantissa por 10 e dividir a potência também por 10.
A terceira parcela terá o expoente aumentado em 3 unidades e a vírgula da mantissa será deslocada o mesmo número de posições para a esquerda:
![](MEx.ashx?Myw0NlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXnstMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQwLDAwMzQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMg==)
Isto é equivalente a dividir a mantissa por 1000 ou 103 e multiplicar a potência pelo mesmo valor.
Agora temos todas as parcelas com a mesma ordem de grandeza:
![](MEx.ashx?MSw3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxdWFkK1xxdWFkMjMsNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4yXHF1YWQrXHF1YWQwLDAwMzQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMg==)
Somamos as mantissas:
![](MEx.ashx?KDEsN1xxdWFkK1xxdWFkMjMsNzlccXVhZCtccXVhZDAsMDAzNDYpXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDI1LDQ5MzQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMg==)
Como a mantissa não é menor que 10, precisamos deslocar a vírgula uma posição para a esquerda, acrescentando também uma unidade ao expoente:
![](MEx.ashx?MjUsNDkzNDZccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4yXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMiw1NDkzNDZccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4z)
Portanto:
![](MEx.ashx?MSw3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxdWFkK1xxdWFkMiwzNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zXHF1YWQrXHF1YWQzLDQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0xfVxxdWFkPVxxdWFkMiw1NDkzNDZccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4z)
Subtração
Para a realização da subtração também é necessário que o minuendo e o subtraendo possuam a mesma ordem de grandeza.
Vejamos a subtração abaixo cujos termos já vimos no caso da adição:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MiwzNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zXHF1YWQtXHF1YWQxLDdccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4y)
Vamos deixar todas as potências com o expoente 2 e realizar a subtração:
![](MEx.ashx?MiwzNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zXHF1YWQtXHF1YWQxLDdccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4yXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMjMsNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4yXHF1YWQtXHF1YWQxLDdccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4yXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkKDIzLDc5XHF1YWQtXHF1YWQxLDcpXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDIyLDA5XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMg==)
Veja que a diferença não está no padrão desejado, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e adicionar 1 uma unidade ao expoente:
![](MEx.ashx?MjIsMDlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4yXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMiwyMDlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4z)
Logo:
![](MEx.ashx?MiwzNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zXHF1YWQtXHF1YWQxLDdccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4yXHF1YWQ9XHF1YWQyLDIwOVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjM=)
Multiplicação
A multiplicação é bastante simples. Multiplicamos as mantissas e somamos as ordens de grandeza.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MSw3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxcXVhZFxjZG90XHFxdWFkMiwzNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zXHFxdWFkXGNkb3RccXF1YWQzLDQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0xfQ==)
Multiplicando as mantissas e somando os expoentes temos:
![](MEx.ashx?KDEsN1xxdWFkXGNkb3RccXVhZDIsMzc5XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMyw0NilccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF57MiszLTF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMTMsOTkzMjc4XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeNFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDEsMzk5MzI3OFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjU=)
Então:
![](MEx.ashx?MSw3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxcXVhZFxjZG90XHFxdWFkMiwzNzlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zXHFxdWFkXGNkb3RccXF1YWQzLDQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0xfVxxdWFkPVxxdWFkMSwzOTkzMjc4XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeNQ==)
Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos as ordens de grandeza.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MSw2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxcXVhZFxkaXZccXF1YWQyLDU2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMw==)
Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes temos:
![](MEx.ashx?KDEsNlxxdWFkXGRpdlxxdWFkMiw1NlwpXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeezItM31ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQwLDYyNVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXnstMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ2LDI1XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0yfQ==)
Portanto:
![](MEx.ashx?MSw2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxcXVhZFxkaXZccXF1YWQyLDU2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeM1xxdWFkPVxxdWFkNiwyNVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXnstMn0=)
Potenciação
Para elevarmos um número em notação científica a um expoente n, devemos elevar a mantissa a n e multiplicar a ordem de grandeza também por n.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxlZnRcKDYsNFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXnstMX1ccmlnaHRcKV4z)
Realizando os procedimentos indicados temos:
![](MEx.ashx?Niw0XjNccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF57LTFcY2RvdDN9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMjYyLDE0NFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXnstM31ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQyLDYyMTQ0XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0xfQ==)
Logo:
![](MEx.ashx?XGxlZnRcKDYsNFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXnstMX1ccmlnaHRcKV4zXHF1YWQ9XHF1YWQyLDYyMTQ0XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0xfQ==)
Radiciação
Para realizarmos a radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice, para assim podermos realizar a retirada do radical.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117MSwyNVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjJ9)
Note que a ordem de grandeza, que é igual a 2, não é divisível pelo índice 3. Para ser, vamos adicionar 1 unidade a ela, deslocar a vírgula da mantissa 1 posição para a esquerda e realizar a radiciação:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117MCwxMjVccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4zfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxzcXJ0WzNdezAsMTI1fVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxzcXJ0WzNdezEwXjN9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMCw1XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMQ==)
Então:
![](MEx.ashx?XHNxcnRbM117MSwyNVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjJ9XHF1YWQ9XHF1YWQwLDVccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4x)
Comparação de Números em Notação Científica
Independentemente da mantissa, o número que possuir a maior ordem de grandeza será o número maior:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MSw1XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeNFxxdWFkPlxxdWFkMywyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMg==)
1,5 . 104 é maior que 3,2 . 102, mesmo sendo a sua mantissa 1,5 menor que a mantissa 3,2, pois a sua ordem de grandeza 4 é maior que a ordem de grandeza 2.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?OCw3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0zfVxxdWFkPFxxdWFkNSwzXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeey0yfQ==)
8,7 . 10-3 é menor que 5,3 . 10-2, ainda que a sua mantissa 8,7 seja maior que a mantissa 5,3, isto porque a sua ordem de grandeza -3 é menor que a ordem de grandeza -2.
Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior será o que possuir a maior mantissa:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?Miw0NVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjVccXVhZDxccXVhZDIsNTRccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF41)
Como ambos os números possuem a mesma ordem de grandeza, 2,45 . 105 é o menor deles, pois é o que possui a menor mantissa.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NCw1NDU2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeM1xxdWFkPlxxdWFkNCwyM1xxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXjM=)
Visto que os dois números têm a mesma ordem de grandeza, 4,5456 . 103 é o maior dos dois, pois é o que tem a maior mantissa.
Nem é preciso dizer que quando tanto a mantissa, quanto a ordem de grandeza forem iguais, os números também serão iguais:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NywyNlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXnsxMX1ccXVhZD1ccXVhZDcsMjZccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF57MTF9)
Os números acima são iguais, já que suas mantissas e as suas ordens de grandeza são iguais.
Conversão da Notação Científica para a Notação Decimal
Realizamos tal conversão simplesmente deslocando a vírgula da mantissa para a direita ou para esquerda, em função da ordem de grandeza ser respectivamente positiva ou negativa.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MSw0Nzg2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMw==)
Como neste exemplo a ordem de grandeza é positiva, devemos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e eliminar a potência:
![](MEx.ashx?MSw0Nzg2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeM1xxdWFkPVxxdWFkMTQ3OCw2)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NCw0ODNccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF57LTJ9)
Neste outro exemplo a ordem de grandeza é negativa, devemos então deslocar a vírgula 2 posições para a esquerda eliminando a potência:
![](MEx.ashx?NCw0ODNccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF57LTJ9XHF1YWQ9XHF1YWQwLDA0NDgz)
![](images/h700.gif)