Monômios ou Termos Algébricos
Anteriormente tivemos um introdução ao cálculo algébrico, onde fizemos a resolução de um problema usando tanto o método aritmético, quanto o método algébrico. Ocasião na qual fomos bastante superficiais. Agora vamos nos aprofundar mais um pouco tratando os Monômios.
Vimos que no cálculo algébrico utilizamos letras para representar valores que desconhecemos, e as chamamos de variável ou incógnita.
Definição de Monômio
Denominamos monômio ou termo algébrico quaisquer expressões algébricas representadas por um número, por uma incógnita, ou pelo produto de números e incógnitas, assim 2, x, 2x e -3xy2 são exemplos de termos algébricos ou monômios.
Identificando as Partes de um Monômio
No monômio -3xy2 o número -3 representa o seu coeficiente numérico e a sua parte literal é representada por xy2.
Por convenção omitimos o coeficiente numérico quando ele é igual a 1, escrevemos x em vez de escrevermos 1x, por exemplo, ou então -x no lugar de -1x.
Temos um monômio nulo quando o coeficiente numérico é igual a 0, assim o termo algébrico 0x2 é igual a 0.
Acima utilizamos o número 2 como um exemplo de monômio. De fato todo número real é um monômio, só que sem a parte literal.
Grau de um Monômio
O grau de um monômio é obtido através da soma dos expoentes de todas as variáveis. O coeficiente numérico deve ser diferente de zero, caso contrário o monômio será nulo.
7xy2 é um monômio de grau 3, já que o expoente de x subentende-se que seja igual a 1 e o de y é igual a 2.
O monômio -5x4 é de grau 4, pois só possui a variável x com expoente igual a 4.
182 é de grau 0, pois é um monômio sem a parte literal.
Grau de um Monômio em Relação a uma Certa Incógnita
Embora o monômio 7xy2 seja de grau 3 se o considerarmos como um todo, analisando-o apenas em relação à variável x, ele será de grau 1, mas se o analisarmos em relação à incógnita y ele será de grau 2, isto porque o grau do monômio corresponderá ao expoente da variável em questão.
Monômios Semelhantes
Observe os três termos algébricos abaixo:
-5x4y
2x4y
7xy2
Note que os dois primeiros possuem a mesma parte literal, já o terceiro embora partilhe das mesmas variáveis, possui uma parte literal distinta, pois os expoentes das respectivas variáveis são diferentes.
Redução de Termos Semelhantes
Por possuírem a mesma parte literal os dois primeiros termos algébricos são denominados monômios semelhantes. Este conceito é muito importante, pois podemos reduzir uma expressão algébrica, contendo vários termos semelhantes, através da soma algébrica destes termos.
Adição de Monômios
Se você tiver 3 bananas e 2 maçãs, ao ganhar mais 2 bananas e 2 maçãs, você ficará com 5 bananas e 4 maçãs. Note que somamos bananas com bananas e maçãs com maçãs. O mesmo raciocínio é aplicado à soma algébrica de monômios em relação aos termos semelhantes.
Observe a seguinte expressão formada pela soma algébrica de três monômios semelhantes:
![](MEx.ashx?M3heMnlccXVhZCtccXVhZDV4XjJ5XHF1YWQrXHF1YWQ3eF4yeQ==)
Como os três termos algébricos são semelhantes podemos reduzi-los a um único monômio somando os coeficientes numéricos e mantendo a parte literal:
![](MEx.ashx?M3heMnlccXVhZCtccXVhZDV4XjJ5XHF1YWQrXHF1YWQ3eF4yeVxxdWFkPVxxdWFkKDNccXVhZCtccXVhZDVccXVhZCtccXVhZDcpIHheMnlccXVhZD1ccXVhZDE1eF4yeQ==)
Veja outros exemplos:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?N2FiXjJccXVhZCtccXVhZDNhYl4yXHF1YWQ9XHF1YWQoN1xxdWFkK1xxdWFkMykgYWJeMlxxdWFkPVxxdWFkMTBhYl4y)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?M3h5XHF1YWQrXHF1YWQyeHlccXVhZCtccXVhZCB4eVxxdWFkPVxxdWFkKDNccXVhZCtccXVhZDJccXVhZCtccXVhZDEpeHlccXVhZD1ccXVhZDZ4eQ==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NGFccXVhZCtccXVhZDZ4XjJ6XHF1YWQrXHF1YWQzYVxxdWFkK1xxdWFkMnheMnpccXVhZD1ccXVhZCg0XHF1YWQrXHF1YWQzKWFccXVhZCtccXVhZCg2XHF1YWQrXHF1YWQyKSB4XjJ6XHF1YWQ9XHF1YWQ3YVxxdWFkK1xxdWFkOHheMno=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7Mn17M30geHlccXVhZCtccXVhZFxmcmFjezF9ezZ9IHh5XHF1YWQrXHF1YWQyYWJccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezV9ezZ9IHh5XHF1YWQrXHF1YWQyYWI=)
Você deve ter percebido que no quarto exemplo somamos os dois primeiros termos, mas não o último, pois este não é semelhante a eles.
Subtração de Monômios
Em sendo a subtração a operação inversa da adição, o que explicamos acima para a soma, vale também de forma análoga para a diferença de monômios.
Vejamos alguns exemplos:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?N3h5XHF1YWQtXHF1YWQzeHlccXVhZD1ccXVhZCg3XHF1YWQtXHF1YWQzKXh5XHF1YWQ9XHF1YWQ0eHk=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MjBhYlxxdWFkLVxxdWFkM2FiXHF1YWQtXHF1YWQ4YWJccXVhZD1ccXVhZCgyMFxxdWFkLVxxdWFkM1xxdWFkLVxxdWFkOClhYlxxdWFkPVxxdWFkOWFi)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?N3heMlxxdWFkLVxxdWFkM3heMlxxdWFkLVxxdWFkNHheMlxxdWFkPVxxdWFkKDdccXVhZC1ccXVhZDNccXVhZC1ccXVhZDQpeF4yXHF1YWQ9XHF1YWQweF4yXHF1YWQ9XHF1YWQw)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NGFccXVhZC1ccXVhZDNhXHF1YWQ9XHF1YWQoNFxxdWFkLVxxdWFkMylhXHF1YWQ9XHF1YWQxYVxxdWFkPVxxdWFkIGE=)
Multiplicação de Monômios
A multiplicação de monômios é realizada simplesmente se multiplicando os coeficientes numéricos entre si, assim como a parte literal.
Veja o seguinte exemplo:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NWFiXjJjXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkM2JjXjNccXVhZD1ccXVhZCg1XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMylccXVhZFxjZG90XHF1YWQoYSlccXVhZFxjZG90XHF1YWQoYl4yXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGIpXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkKGNccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY14zKVxxdWFkPVxxdWFkMTVhYl4zY140)
Sabemos que na multiplicação de potências de mesma base mantemos a base e somamos os expoentes. Se você observar, verá que além da multiplicação dos coeficientes numéricos, foi exatamente isto o que fizemos no produto acima.
A variável a tem expoente 1 no primeiro termo algébrico e não ocorre no segundo termo. Portanto mantém-se com o expoente igual a 1.
A incógnita b tem os expoentes 2 e 1 no primeiro e segundo termo respectivamente, totalizando 3 no expoente.
Já a variável c tem os expoentes 1 e 3, que somados totalizam um expoente igual a 4.
Então como regra geral para multiplicarmos monômios é multiplicarmos os coeficientes e para cada variável somarmos os seus expoentes.
Vejamos outros exemplos:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NHheMnleM3peNFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDV4eV4yel4zXHF1YWQ9XHF1YWQoNFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDUpKHheezIrMX0pKHleezMrMn0pKHpeezQrM30pXHF1YWQ9XHF1YWQyMHheM3leNXpeNw==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MX17Mn0gYV40Yl4zXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkLTJhXjViXHF1YWQ9XHF1YWQoXGZyYWN7MX17Mn1ccXVhZFxjZG90XHF1YWQtMikoYV57NCs1fSkoYl57MysxfSlccXVhZD1ccXVhZC1hXjliXjQ=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?N1xxdWFkXGNkb3RccXVhZDJ4XjJccXVhZD1ccXVhZCg3XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMil4XjJccXVhZD1ccXVhZDE0eF4y)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?eHl6d1xxdWFkXGNkb3RccXVhZCB5XjJ6XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIHheM3peNFxxdWFkPVxxdWFkKHheezErM30pKHleezErMn0pKHcpKHpeezErMSs0fSlccXVhZD1ccXVhZCB4XjR5XjN3el42)
Divisão de Monômios
Agora vamos tratar a operação inversa da multiplicação, a divisão de monômios.
Os procedimentos serão semelhantes ao do caso anterior, iremos dividir os coeficientes numéricos e subtrair os expoentes das incógnitas da parte literal.
Observe este exemplo:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MTV4Xjd5XjRccXVhZFxkaXZccXVhZDV4XjN5XjJccXVhZD1ccXVhZCgxNVxxdWFkXGRpdlxxdWFkNSkoeF57Ny0zfSkoeV57NC0yfSlccXVhZD1ccXVhZDN4XjR5XjI=)
O exemplo é autoexplicativo, mas para que não fique qualquer dúvida, vamos comentá-lo.
O coeficiente numérico foi obtido pela divisão dos dois coeficientes originais.
A variável x possui respectivamente os expoentes 7 e 3, então subtraindo o segundo do primeiro obtemos o expoente 4.
Por fim a incógnita y que tem expoente 4 no primeiro monômio e 2 no segundo, fica com o expoente 2, resultante de 4 - 2.
Veja mais estes outros exemplos:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MjVhYl4yXHF1YWRcZGl2XHF1YWQ1YWJccXVhZD1ccXVhZCgyNVxxdWFkXGRpdlxxdWFkNSkoYV57MS0xfSkoYl57Mi0xfSlccXVhZD1ccXVhZDVhXjBiXjFccXVhZD1ccXVhZDVi)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MjF4eVxxdWFkXGRpdlxxdWFkM3h5XHF1YWQ9XHF1YWQoMjFccXVhZFxkaXZccXVhZDMpKHheezEtMX0pKHleezEtMX0pXHF1YWQ9XHF1YWQ3eF4weV4wXHF1YWQ9XHF1YWQ3)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?OGFiXjNjXjRkXjVccXVhZFxkaXZccXVhZDhiY14yZF4zXHF1YWQ9XHF1YWQoOFxxdWFkXGRpdlxxdWFkOCkoYSkoYl57My0xfSkoY157NC0yfSkoZF57NS0zfSlccXVhZD1ccXVhZCBhYl4yY14yZF4y)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?NXheMnlccXVhZFxkaXZccXVhZDE1eHlccXVhZD1ccXVhZCg1XHF1YWRcZGl2XHF1YWQxNSkoeF57Mi0xfSkoeV57MS0xfSlccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezF9ezN9IHheMXleMFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MX17M30geA==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?MTJ4XjJ5XHF1YWRcZGl2XHF1YWQzeHleM1xxdWFkPVxxdWFkKDEyXHF1YWRcZGl2XHF1YWQzKSh4XnsyLTF9KSh5XnsxLTN9KVxxdWFkPVxxdWFkNHheMXleey0yfVxxdWFkPVxxdWFkNHh5XnstMn0=)
Repare que no último exemplo a variável y terminou com um expoente negativo. Conforme estudado no tópico sobre potenciação, podemos escrever esta expressão na forma de uma fração:
![](MEx.ashx?NHh5XnstMn1ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezR4fXt5XjJ9)
Exponenciação de Monômios
Já vimos que a potência do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto de cada um destes fatores elevados ao referido expoente, na potenciação de monômios aplicamos o mesmo princípio.
Vejamos este exemplo:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?KC01eF4yeV40KV4zXHF1YWQ9XHF1YWQoLTUpXjMoeF4yKV4zKHleNCleM1xxdWFkPVxxdWFkLTEyNSh4XnsyXGNkb3QzfSkoeV57NFxjZG90M30pXHF1YWQ9XHF1YWQtMTI1eF42eV57MTJ9)
Note que transformamos a potência de produtos, nos produtos de potências. Assim elevamos o coeficiente numérico e cada uma das potências das variáveis ao expoente 3.
-53 resulta em -125.
(x2)3 como sabemos é igual a x2 . 3 que é igual a x6.
Assim como (y4)3 sabemos que é igual a y4 . 3 que é igual a y12.
E para terminar este tópico vamos a mais alguns exemplos:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?KDJhKV4zXHF1YWQ9XHF1YWQoMileMyhhKV4zXHF1YWQ9XHF1YWQ4YV4z)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?KDN4XjIpXjVccXVhZD1ccXVhZCgzKV41KHheMileNVxxdWFkPVxxdWFkMjQzKHheezJcY2RvdDV9KVxxdWFkPVxxdWFkMjQzeF57MTB9)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?KC01eF4yeV40KV4zXHF1YWQ9XHF1YWQoLTUpXjMoeF4yKV4zKHleNCleM1xxdWFkPVxxdWFkLTEyNSh4XnsyXGNkb3QzfSkoeV57NFxjZG90M30pXHF1YWQ9XHF1YWQtMTI1eF42eV57MTJ9)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?KDNyXjNzXjJ0KV40XHF1YWQ9XHF1YWQoMyleNChyXjMpXjQoc14yKV40KHQpXjRccXVhZD1ccXVhZDgxKHJeezNcY2RvdDR9KShzXnsyXGNkb3Q0fSkodF40KVxxdWFkPVxxdWFkODFyXnsxMn1zXjh0XjQ=)
![](images/h700.gif)