Logaritmo
Ao estudarmos a exponenciação ou potenciação aprendemos que, por exemplo, o produto de 3 por 3, que é igual a 9, pode ser representado na forma de uma potência pela seguinte sentença matemática:
Utilizando a notação dos logaritmos também podemos representá-la assim:
Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentença temos:
2 é o logaritmo de 9 na base 3;
3 é a base do logaritmo;
9 é o logaritmando.
Genericamente de forma simbólica temos a seguinte definição de logaritmo:
Para os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente real x, tal que bx = a
Vejamos a sentença abaixo:
O expoente desta potência, no caso 3, é o logaritmo de 1000 que podemos representar assim:
Como você já sabe, na representação de alguns símbolos matemáticos, alguma parte muito utilizada em geral é omitida. Como exemplo temos que pode, de forma simplificada, ser expresso como , com a omissão do expoente 1.
Um outro exemplo pode ser uma raiz quadrada qualquer, que em vez de a expressarmos como , utilizamos apenas .
Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, então em vez de , utilizamos , que como você pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificações têm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais símbolos, facilitando assim a compreensão de tais expressões.
Assim sendo a expressão em geral é escrita como
Propriedades dos Logaritmos
Considerando a, b, c, M e N números reais positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1, temos as seguintes propriedades dos logaritmos:
Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base, o logaritmo será igual a 1.
Isto fica claro no exemplo abaixo, já que todo número real elevado a 1 é igual a ele próprio:
Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1, o logaritmo será igual a 0.
Veja abaixo um exemplo onde arbitramos 6 para um dos possíveis valores de b:
O logaritmo na base b do produto de M por N é igual à soma do logaritmo na base b de M com o logaritmo na base b de N.
Vamos tomar como exemplo o .
Pela propriedade do logaritmo de um produto temos:
Como vimos acima o , pois a base 3 elevada ao expoente 2 é igual a 9:
Claramente o , já que devemos elevar a base 3 ao expoente 3 para obtermos 27:
Realizando a substituição destes logaritmos na expressão original temos:
Então chegamos a:
O logaritmo de 243 na base 3 é igual a 5, pois este é o expoente ao qual 3 precisa ser elevado para obtermos 243.
O logaritmo na base b do quociente de M por N é igual à diferença entre o logaritmo na base b de M e o logaritmo na base b de N.
Agora vamos utilizar o neste outro exemplo.
Segundo a propriedade do quociente de um logaritmo temos:
Já que como visto o e temos que:
O logaritmo de 3 na base 3 é igual a 1, já que este é o expoente ao qual a base 3 é elevada para 3 ser obtido.
Para qualquer valor real M, o logaritmo na base b da potência NM é igual ao produto do expoente M pelo logaritmo na base b de N, a base da potência.
Calculemos o logaritmo de .
Ao decompormos 15625 em fatores primos iremos obter 56:
De acordo com a propriedade do logaritmo de uma potência temos:
O log5 5 é igual a 1, pois 51 = 5, portanto:
O logaritmo de 15625 na base 5 é igual a 6, visto que este é o expoente ao qual 5 deve ser elevado para obtermos 15625.
Para qualquer valor natural M, não nulo, o logaritmo na base b da raiz é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo na base b de N, o radicando da raiz.
Vamos calcular o logaritmo da raiz cúbica de 343 na base 7.
Pela propriedade do logaritmo de uma raiz, temos que:
O log7 343 é igual a 3, pois 73 = 343, logo:
O é igual a 1, como já era de se esperar, já que 73 = 343, obviamente , então , pois 71 = 7.
Esta é uma propriedade muito importante, pois através dela podemos realizar a mudança da base de um logaritmo.
Como exemplo vamos mudar o logaritmo de log4 256 para a base 16:
Segundo a propriedade da mudança de base temos:
Vamos realizar a conferência deste resultado, verificando se a igualdade é verdadeira. Para isto nós sabemos que:
Portanto, substituindo tais logaritmos confirmamos a igualdade: