Logaritmo
Ao estudarmos a exponenciação ou potenciação aprendemos que, por exemplo, o produto de 3 por 3, que é igual a 9, pode ser representado na forma de uma potência pela seguinte sentença matemática:
![](MEx.ashx?M14yXHF1YWQ9XHF1YWQ5)
Utilizando a notação dos logaritmos também podemos representá-la assim:
![](MEx.ashx?XGxvZ18zXHF1YWQ5XHF1YWQ9XHF1YWQy)
Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentença temos:
2 é o logaritmo de 9 na base 3;
3 é a base do logaritmo;
9 é o logaritmando.
Genericamente de forma simbólica temos a seguinte definição de logaritmo:
![](MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWQgYVxxdWFkPVxxdWFkIHhccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGJeeFxxdWFkPVxxdWFkIGE=)
Para os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente real x, tal que bx = a
Vejamos a sentença abaixo:
![](MEx.ashx?MTBeM1xxdWFkPVxxdWFkMTAwMA==)
O expoente desta potência, no caso 3, é o logaritmo de 1000 que podemos representar assim:
![](MEx.ashx?XGxvZ197MTB9XHF1YWQxMDAwXHF1YWQ9XHF1YWQz)
Como você já sabe, na representação de alguns símbolos matemáticos, alguma parte muito utilizada em geral é omitida. Como exemplo temos que
pode, de forma simplificada, ser expresso como
, com a omissão do expoente 1.
Um outro exemplo pode ser uma raiz quadrada qualquer, que em vez de a expressarmos como
, utilizamos apenas
.
Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, então em vez de
, utilizamos
, que como você pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificações têm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais símbolos, facilitando assim a compreensão de tais expressões.
Assim sendo a expressão
em geral é escrita como ![](MEx.ashx?XGxvZ1xxdWFkMTAwMFxxdWFkPVxxdWFkMw==)
Propriedades dos Logaritmos
Considerando a, b, c, M e N números reais positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1, temos as seguintes propriedades dos logaritmos:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWQgYlxxdWFkPVxxdWFkMQ==)
Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base, o logaritmo será igual a 1.
Isto fica claro no exemplo abaixo, já que todo número real elevado a 1 é igual a ele próprio:
![](MEx.ashx?XGxvZ184XHF1YWQ4XHF1YWQ9XHF1YWQxXHF1YWRcTGVmdHJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDheMVxxdWFkPVxxdWFkOA==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWQxXHF1YWQ9XHF1YWQw)
Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1, o logaritmo será igual a 0.
Veja abaixo um exemplo onde arbitramos 6 para um dos possíveis valores de b:
![](MEx.ashx?XGxvZ182XHF1YWQxXHF1YWQ9XHF1YWQwXHF1YWRcTGVmdHJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDZeMFxxdWFkPVxxdWFkMQ==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWQoTVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBOKVxxdWFkPVxxdWFkXGxvZ19iXHF1YWQgTVxxdWFkK1xxdWFkXGxvZ19iXHF1YWQgTg==)
O logaritmo na base b do produto de M por N é igual à soma do logaritmo na base b de M com o logaritmo na base b de N.
Vamos tomar como exemplo o
.
Pela propriedade do logaritmo de um produto temos:
![](MEx.ashx?XGxvZ18zXHF1YWQoOVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDI3KVxxdWFkPVxxdWFkXGxvZ18zXHF1YWQ5XHF1YWQrXHF1YWRcbG9nXzNccXVhZDI3)
Como vimos acima o
, pois a base 3 elevada ao expoente 2 é igual a 9:
![](MEx.ashx?XGxvZ18zXHF1YWQ5XHF1YWQ9XHF1YWQyXHF1YWRcTGVmdHJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDNeMlxxdWFkPVxxdWFkOQ==)
Claramente o
, já que devemos elevar a base 3 ao expoente 3 para obtermos 27:
![](MEx.ashx?XGxvZ18zXHF1YWQyN1xxdWFkPVxxdWFkM1xxdWFkXExlZnRyaWdodGFycm93XHF1YWQzXjNccXVhZD1ccXVhZDI3)
Realizando a substituição destes logaritmos na expressão original temos:
![](MEx.ashx?XGxvZ18zXHF1YWQoOVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDI3KVxxdWFkPVxxdWFkXGxvZ18zXHF1YWQ5XHF1YWQrXHF1YWRcbG9nXzNccXVhZDI3XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGxvZ18zXHF1YWQyNDNccXVhZD1ccXVhZDJccXVhZCtccXVhZDNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbG9nXzNccXVhZDI0M1xxdWFkPVxxdWFkNQ==)
Então chegamos a:
![](MEx.ashx?XGxvZ18zXHF1YWQyNDNccXVhZD1ccXVhZDVccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkM141XHF1YWQ9XHF1YWQyNDM=)
O logaritmo de 243 na base 3 é igual a 5, pois este é o expoente ao qual 3 precisa ser elevado para obtermos 243.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWRcKFxmcmFje019e059XClccXVhZD1ccXVhZFxsb2dfYlxxdWFkIE1ccXVhZC1ccXVhZFxsb2dfYlxxdWFkIE4=)
O logaritmo na base b do quociente de M por N é igual à diferença entre o logaritmo na base b de M e o logaritmo na base b de N.
Agora vamos utilizar o
neste outro exemplo.
Segundo a propriedade do quociente de um logaritmo temos:
![](MEx.ashx?XGxvZ18zXHF1YWRcKFxmcmFjezI3fXs5fVwpXHF1YWQ9XHF1YWRcbG9nXzNccXVhZDI3XHF1YWQtXHF1YWRcbG9nXzNccXVhZDk=)
Já que como visto o
e
temos que:
![](MEx.ashx?XGxvZ18zXHF1YWRcKFxmcmFjezI3fXs5fVwpXHF1YWQ9XHF1YWRcbG9nXzNccXVhZDI3XHF1YWQtXHF1YWRcbG9nXzNccXVhZDlccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbG9nXzNccXVhZFwoXGZyYWN7Mjd9ezl9XClccXVhZD1ccXVhZDNccXVhZC1ccXVhZDJccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbG9nXzNccXVhZFwoXGZyYWN7Mjd9ezl9XClccXVhZD1ccXVhZDFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbG9nXzNccXVhZDNccXVhZD1ccXVhZDFccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkM14xXHF1YWQ9XHF1YWQz)
O logaritmo de 3 na base 3 é igual a 1, já que este é o expoente ao qual a base 3 é elevada para 3 ser obtido.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWRcKE5eTVwpXHF1YWQ9XHF1YWQgTVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxsb2dfYlxxdWFkIE4=)
Para qualquer valor real M, o logaritmo na base b da potência NM é igual ao produto do expoente M pelo logaritmo na base b de N, a base da potência.
Calculemos o logaritmo de
.
Ao decompormos 15625 em fatores primos iremos obter 56:
![](MEx.ashx?XGxvZ181XHF1YWQxNTYyNVxxdWFkPVxxdWFkXGxvZ181XHF1YWRcKDVeNlwp)
De acordo com a propriedade do logaritmo de uma potência temos:
![](MEx.ashx?XGxvZ181XHF1YWRcKDVeNlwpXHF1YWQ9XHF1YWQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXGxvZ181XHF1YWQ1)
O log5 5 é igual a 1, pois 51 = 5, portanto:
![](MEx.ashx?XGxvZ181XHF1YWRcKDVeNlwpXHF1YWQ9XHF1YWQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXGxvZ181XHF1YWQ1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGxvZ181XHF1YWRcKDVeNlwpXHF1YWQ9XHF1YWQ2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsb2dfNVxxdWFkXCg1XjZcKVxxdWFkPVxxdWFkNlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsb2dfNVxxdWFkMTU2MjVccXVhZD1ccXVhZDZccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkNV42XHF1YWQ9XHF1YWQxNTYyNQ==)
O logaritmo de 15625 na base 5 é igual a 6, visto que este é o expoente ao qual 5 deve ser elevado para obtermos 15625.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWRcKFxzcXJ0W01de059XClccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezF9e019XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXGxvZ19iXHF1YWQgTg==)
Para qualquer valor natural M, não nulo, o logaritmo na base b da raiz
é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo na base b de N, o radicando da raiz.
Vamos calcular o logaritmo da raiz cúbica de 343 na base 7.
Pela propriedade do logaritmo de uma raiz, temos que:
![](MEx.ashx?XGxvZ183XHF1YWRcKFxzcXJ0WzNdezM0M31cKVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MX17M31ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcbG9nXzdccXVhZDM0Mw==)
O log7 343 é igual a 3, pois 73 = 343, logo:
![](MEx.ashx?XGxvZ183XHF1YWRcKFxzcXJ0WzNdezM0M31cKVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MX17M31ccXVhZFxjZG90XHF1YWRcbG9nXzdccXVhZDM0M1xxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsb2dfN1xxdWFkXChcc3FydFszXXszNDN9XClccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezF9ezN9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkM1xxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsb2dfN1xxdWFkXChcc3FydFszXXszNDN9XClccXVhZD1ccXVhZDE=)
O
é igual a 1, como já era de se esperar, já que 73 = 343, obviamente
, então
, pois 71 = 7.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ19iXHF1YWQgYVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7XGxvZ19jXHF1YWQgYX17XGxvZ19jXHF1YWQgYn0=)
Esta é uma propriedade muito importante, pois através dela podemos realizar a mudança da base de um logaritmo.
Como exemplo vamos mudar o logaritmo de log4 256 para a base 16:
Segundo a propriedade da mudança de base temos:
![](MEx.ashx?XGxvZ197MTZ9XHF1YWQyNTZccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje1xsb2dfNFxxdWFkMjU2fXtcbG9nXzRccXVhZDE2fQ==)
Vamos realizar a conferência deste resultado, verificando se a igualdade é verdadeira. Para isto nós sabemos que:
![](MEx.ashx?XGxvZ197MTZ9XHF1YWQyNTZccXVhZD1ccXVhZDJccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMTZeMlxxdWFkPVxxdWFkMjU2)
![](MEx.ashx?XGxvZ180XHF1YWQyNTZccXVhZD1ccXVhZDRccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkNF40XHF1YWQ9XHF1YWQyNTY=)
![](MEx.ashx?XGxvZ180XHF1YWQxNlxxdWFkPVxxdWFkMlxxdWFkXExlZnRyaWdodGFycm93XHF1YWQ0XjJccXVhZD1ccXVhZDE2)
Portanto, substituindo tais logaritmos confirmamos a igualdade:
![](MEx.ashx?XGxvZ197MTZ9XHF1YWQyNTZccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje1xsb2dfNFxxdWFkMjU2fXtcbG9nXzRccXVhZDE2fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDJccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezR9ezJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMlxxdWFkPVxxdWFkMg==)
![](images/h700.gif)