Sabe aquele eterno otimista que só vê o lado positivo das coisas?

O módulo é deste jeito.

Brincadeiras à parte, o módulo ou valor absoluto de um número real x é representado por |x|, que lemos: módulo de x.

Se x for um número real positivo o módulo de x será o próprio x.

Se x for um número real negativo o módulo de x será o oposto de x, ou seja, será -x, resultando portanto em um valor positivo.

Apenas sendo x igual a 0, o módulo de x também será 0.

Em resumo temos:

Embora não seja um conceito complexo, vamos ver alguns exemplos. Inicialmente vejamos exemplos bem simples:

Exemplo de Módulo de Números Reais

Módulo de um Número Real Positivo

|17|

Neste exemplo temos um número positivo, já que 17 > 0, então o |17| é igual ao próprio 17, pois , logo:

Módulo de um Número Real Negativo

|-17|

Neste outro exemplo temos um número negativo, já que -17 < 0, então o |-17| é igual ao oposto ou simétrico de -17, que é 17, pois :

Módulo de um Número Real Nulo

|0|

Como , então .

Ou por outro lado, como , então .

Agora vamos ver alguns exemplos um pouco mais complexos:

|x - 5|

Para obtermos o valor do |x - 5| precisamos identificar quando x - 5 ≤ 0 e quando x - 5 ≥ 0.

Ora, se x - 5 ≥ 0 então:

Logo para x ≥ 5 temos x - 5 ≥ 0, portanto segundo a definição do módulo temos:

Já para x ≤ 5 temos x - 5 ≤ 0, de onde concluímos que:

Resumindo temos:

Para finalizarmos os exemplos vamos analisar a sentença |x - 5| + |x - 2| para x ≤ 2, para x ≥ 5 e para 2 ≤ x ≤ 5:

|x - 5| + |x - 2| para x ≤ 2

Como temos x ≤ 2, então x - 2 ≤ 0, pois para ser maior que 0, seria necessário que x fosse maior que 2.

Analogamente temos x - 5 < 0, pois como x ≤ 2 o maior valor que podemos obter para x - 5 é -3.

Em função disto o |x - 5| será -(x - 5) e o |x - 2| será -(x - 2).

Então temos:

|x - 5| + |x - 2| para x ≥ 5

Neste outro exemplo como x ≥ 5, então x - 5 ≥ 0 e x - 2 > 0.

Então |x - 5| será x - 5 e o |x - 2| será x - 2.

O que resulta em:

|x - 5| + |x - 2| para 2 ≤ x ≤ 5

Neste último exemplo temos x - 5 ≤ 0, pois x pode ser no máximo ser igual a 5 e x - 2 ≥ 0, pois o valor mínimo de x é 2.

Temos então que o |x - 5| será -(x - 5) e o |x - 2| será x - 2.

E portanto:

Propriedades do Módulo de Números Reais

Para quaisquer valores reais de x temos as seguintes propriedades:

Para a e b reais temos as seguintes propriedades:

para

Para

Para

Para

Conceituando Geometricamente o Módulo de um Número Real

Em termos geométricos o módulo de um número real representa a distância deste número à origem de uma reta real.

Na reta desta figura o ponto 0 representa a sua Origem. Cada ponto nesta reta é um número real.

Como podemos observar, 3 tanto é a distância do ponto -3 até a origem,quanto é a distância do ponto 3 também até a origem.

A distância dos pontos em questão é igual a 3 nos dois casos, não importando se o ponto está à direita ou à esquerda da origem. O valor absoluto ou módulo de -3 é igual a 3, assim como o módulo de 3 também o é.