Módulo de Números Reais
Sabe aquele eterno otimista que só vê o lado positivo das coisas?
O módulo é deste jeito.
Brincadeiras à parte, o módulo ou valor absoluto de um número real x é representado por |x|, que lemos: módulo de x.
Se x for um número real positivo o módulo de x será o próprio x.
Se x for um número real negativo o módulo de x será o oposto de x, ou seja, será -x, resultando portanto em um valor positivo.
Apenas sendo x igual a 0, o módulo de x também será 0.
Em resumo temos:
![](MEx.ashx?XGxlZnRce3x4fFxxdWFkPVxxdWFkIHgsXHF1YWQgc2VccXVhZCB4XHF1YWRcZ2VxXHF1YWQwXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFx8eHxccXVhZD1ccXVhZC14LFxxdWFkIHNlXHF1YWQgeFxxdWFkXGxlcVxxdWFkMA==)
Embora não seja um conceito complexo, vamos ver alguns exemplos. Inicialmente vejamos exemplos bem simples:
Exemplo de Módulo de Números Reais
Módulo de um Número Real Positivo
|17|
Neste exemplo temos um número positivo, já que 17 > 0, então o |17| é igual ao próprio 17, pois
, logo:
![](MEx.ashx?fDE3fFxxdWFkPVxxdWFkMTc=)
Módulo de um Número Real Negativo
|-17|
Neste outro exemplo temos um número negativo, já que -17 < 0, então o |-17| é igual ao oposto ou simétrico de -17, que é 17, pois
:
![](MEx.ashx?fC0xN3xccXVhZD1ccXVhZC0oXHF1YWQtMTdccXVhZClccXVhZD1ccXVhZDE3)
Módulo de um Número Real Nulo
|0|
Como
, então
.
Ou por outro lado, como
, então
.
Agora vamos ver alguns exemplos um pouco mais complexos:
|x - 5|
Para obtermos o valor do |x - 5| precisamos identificar quando x - 5 ≤ 0 e quando x - 5 ≥ 0.
Ora, se x - 5 ≥ 0 então:
![](MEx.ashx?eFxxdWFkLVxxdWFkNVxxdWFkXGdlcVxxdWFkMFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWRcZ2VxXHF1YWQwXHF1YWQrXHF1YWQ1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZFxnZXFccXVhZDU=)
Logo para x ≥ 5 temos x - 5 ≥ 0, portanto segundo a definição do módulo temos:
![](MEx.ashx?fHhccXVhZC1ccXVhZDV8XHF1YWQ9XHF1YWQgeFxxdWFkLVxxdWFkNQ==)
Já para x ≤ 5 temos x - 5 ≤ 0, de onde concluímos que:
![](MEx.ashx?fHhccXVhZC1ccXVhZDV8XHF1YWQ9XHF1YWQtKFxxdWFkIHhccXVhZC1ccXVhZDVccXVhZClccXVhZD1ccXVhZC14XHF1YWQrXHF1YWQ1)
Resumindo temos:
![](MEx.ashx?XGxlZnRce3x4XHF1YWQtXHF1YWQ1fFxxdWFkPVxxdWFkIHhccXVhZC1ccXVhZDUsXHF1YWQgc2VccXVhZCB4XHF1YWRcZ2VxXHF1YWQ1XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFx8IHhccXVhZC1ccXVhZDV8XHF1YWQ9XHF1YWQteFxxdWFkK1xxdWFkNSxccXVhZCBzZVxxdWFkIHhccXVhZFxsZXFccXVhZDU=)
Para finalizarmos os exemplos vamos analisar a sentença |x - 5| + |x - 2| para x ≤ 2, para x ≥ 5 e para 2 ≤ x ≤ 5:
|x - 5| + |x - 2| para x ≤ 2
Como temos x ≤ 2, então x - 2 ≤ 0, pois para ser maior que 0, seria necessário que x fosse maior que 2.
Analogamente temos x - 5 < 0, pois como x ≤ 2 o maior valor que podemos obter para x - 5 é -3.
Em função disto o |x - 5| será -(x - 5) e o |x - 2| será -(x - 2).
Então temos:
![](MEx.ashx?fHhccXVhZC1ccXVhZDV8XHF1YWQrXHF1YWR8eFxxdWFkLVxxdWFkMnxccXVhZD1cXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXC0oeFxxdWFkLVxxdWFkNSlccXVhZCtccXVhZC0oeFxxdWFkLVxxdWFkMilccXVhZD1cXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXC14XHF1YWQrXHF1YWQ1XHF1YWQrXHF1YWQoLSB4XHF1YWQrXHF1YWQyKVxxdWFkPVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcLXhccXVhZCtccXVhZDVccXVhZC1ccXVhZCB4XHF1YWQrXHF1YWQyXHF1YWQ9XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwtMnhccXVhZCtccXVhZDc=)
|x - 5| + |x - 2| para x ≥ 5
Neste outro exemplo como x ≥ 5, então x - 5 ≥ 0 e x - 2 > 0.
Então |x - 5| será x - 5 e o |x - 2| será x - 2.
O que resulta em:
![](MEx.ashx?fHhccXVhZC1ccXVhZDV8XHF1YWQrXHF1YWR8eFxxdWFkLVxxdWFkMnxccXVhZD1cXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXCB4XHF1YWQtXHF1YWQ1XHF1YWQrXHF1YWQgeFxxdWFkLVxxdWFkMlxxdWFkPVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcMnhccXVhZC1ccXVhZDc=)
|x - 5| + |x - 2| para 2 ≤ x ≤ 5
Neste último exemplo temos x - 5 ≤ 0, pois x pode ser no máximo ser igual a 5 e x - 2 ≥ 0, pois o valor mínimo de x é 2.
Temos então que o |x - 5| será -(x - 5) e o |x - 2| será x - 2.
E portanto:
![](MEx.ashx?fHhccXVhZC1ccXVhZDV8XHF1YWQrXHF1YWR8eFxxdWFkLVxxdWFkMnxccXVhZD1cXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXC0oeFxxdWFkLVxxdWFkNSlccXVhZCtccXVhZCh4XHF1YWQtXHF1YWQyKVxxdWFkPVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcLXhccXVhZCtccXVhZDVccXVhZCtccXVhZCB4XHF1YWQtXHF1YWQyXHF1YWQ9XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwz)
Propriedades do Módulo de Números Reais
Para quaisquer valores reais de x temos as seguintes propriedades:
![](MEx.ashx?fHh8XHF1YWRcZ2VxXHF1YWQw)
![](MEx.ashx?fHh8XHF1YWQ9XHF1YWR8LXh8)
![](MEx.ashx?XHNxcnR7eF4yfVxxdWFkPVxxdWFkfHh8)
![](MEx.ashx?fHheMnxccXVhZD1ccXVhZHx4fF4yXHF1YWQ9XHF1YWQgeF4y)
Para a e b reais temos as seguintes propriedades:
![](MEx.ashx?fGFccXVhZFxjZG90XHF1YWQgYnxccXVhZD1ccXVhZHxhfFxxdWFkXGNkb3RccXVhZHxifA==)
para ![](MEx.ashx?YlxxdWFkXG5vdD1ccXVhZDA=)
![](MEx.ashx?fGFccXVhZC1ccXVhZCBifFxxdWFkPVxxdWFkfGJccXVhZC1ccXVhZCBhfFxxdWFk)
![](MEx.ashx?fGFccXVhZCtccXVhZCBifFxxdWFkXGxlcVxxdWFkfGF8XHF1YWQrXHF1YWR8Ynw=)
Para ![](MEx.ashx?YVxxdWFkPlxxdWFkMCxccXVhZHx4fFxxdWFkPVxxdWFkIGFccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxwbSBh)
Para ![](MEx.ashx?YVxxdWFkPFxxdWFkMCxccXVhZHx4fFxxdWFkPFxxdWFkIGFccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkLWFccXVhZDxccXVhZCB4XHF1YWQ8XHF1YWQgYQ==)
Para ![](MEx.ashx?YVxxdWFkPlxxdWFkMCxccXVhZHx4fFxxdWFkPlxxdWFkIGFccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZDxccXVhZC1hXHF1YWQgb3JccXVhZCB4XHF1YWQ+XHF1YWQgYQ==)
Conceituando Geometricamente o Módulo de um Número Real
![](images/ModuloNrReal.gif)
Em termos geométricos o módulo de um número real representa a distância deste número à origem de uma reta real.
Na reta desta figura o ponto 0 representa a sua Origem. Cada ponto nesta reta é um número real.
Como podemos observar, 3 tanto é a distância do ponto -3 até a origem,quanto é a distância do ponto 3 também até a origem.
A distância dos pontos em questão é igual a 3 nos dois casos, não importando se o ponto está à direita ou à esquerda da origem. O valor absoluto ou módulo de -3 é igual a 3, assim como o módulo de 3 também o é.
![](images/h700.gif)