Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
![](images/ENEM2011/ENEM2011q17_1.gif)
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto
- A) (-5, 0).
- B) (-3, 1).
- C) (-2, 1).
- D) (0, 4).
- E) (2, 6).
Para a resolução deste problema o estudante precisa saber determinar quais dos pontos das cinco alternativas pertencem à equação da reta y = x + 4, ou seja, quais deles pertencem à linha do metrô e verificar qual deles está mais próximo do ponto P = (-5, 5).
Para determinar quais pontos pertencem à equação da reta y = x + 4 vamos substituir x pela abscissa de cada ponto e verificar se o y encontrado corresponde à ordenada do ponto em questão:
![](MEx.ashx?KC01LFxxdWFkMClccXF1YWRccmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCB5XHF1YWQ9XHF1YWQgeFxxdWFkK1xxdWFkNFxxdWFkPVxxdWFkLTVccXVhZCtccXVhZDRccXVhZD1ccXVhZC0xXHFxdWFkXHJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQoLTUsXHF1YWQtMSk=)
![](MEx.ashx?KC0zLFxxdWFkMSlccXF1YWRccmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCB5XHF1YWQ9XHF1YWQgeFxxdWFkK1xxdWFkNFxxdWFkPVxxdWFkLTNccXVhZCtccXVhZDRccXVhZD1ccXVhZDFccXF1YWRccmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCgtMyxccXVhZDEp)
![](MEx.ashx?KC0yLFxxdWFkMSlccXF1YWRccmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCB5XHF1YWQ9XHF1YWQgeFxxdWFkK1xxdWFkNFxxdWFkPVxxdWFkLTJccXVhZCtccXVhZDRccXVhZD1ccXVhZDJccXF1YWRccmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCgtMixccXVhZDIp)
![](MEx.ashx?KDAsXHF1YWQ0KVxxcXVhZFxyaWdodGFycm93XHFxdWFkIHlccXVhZD1ccXVhZCB4XHF1YWQrXHF1YWQ0XHF1YWQ9XHF1YWQwXHF1YWQrXHF1YWQ0XHF1YWQ9XHF1YWQ0XHFxdWFkXHJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQoMCxccXVhZDQp)
![](MEx.ashx?KDIsXHF1YWQ2KVxxcXVhZFxyaWdodGFycm93XHFxdWFkIHlccXVhZD1ccXVhZCB4XHF1YWQrXHF1YWQ0XHF1YWQ9XHF1YWQyXHF1YWQrXHF1YWQ0XHF1YWQ9XHF1YWQ2XHFxdWFkXHJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQoMixccXVhZDYp)
Como podemos observar, apenas os pontos (-3, 1), (0, 4) e (2, 6) pertencem à equação da reta y = x + 4, pois ao substituirmos o x destes pontos pelo x da referida equação da reta obtivemos os mesmos pontos.
Agora temos que verificar quais destes três pontos dista até 5 km do ponto P = (-5, 5).
Vamos calcular estas distâncias através da fórmula:
![](MEx.ashx?RFxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnR7KHhfMlxxdWFkLVxxdWFkIHhfMSleMlxxdWFkK1xxdWFkKHlfMlxxdWFkLVxxdWFkIHlfMSleMn0=)
Para cada ponto temos:
![](MEx.ashx?RF97KC0zLDEpfVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnR7KC01XHF1YWQtXHF1YWQtMyleMlxxdWFkK1xxdWFkKDVccXVhZC1ccXVhZDEpXjJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIERfeygtMywxKX1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezIwfQ==)
![](MEx.ashx?RF97KDAsNCl9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHsoLTVccXVhZC1ccXVhZDApXjJccXVhZCtccXVhZCg1XHF1YWQtXHF1YWQ0KV4yfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBEX3soMCw0KX1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezI2fQ==)
![](MEx.ashx?RF97KDIsNil9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHsoLTVccXVhZC1ccXVhZDIpXjJccXVhZCtccXVhZCg1XHF1YWQtXHF1YWQ2KV4yfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBEX3soMiw2KX1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezUwfQ==)
Visto que
não é maior que 5, já que
, (-3, 1) é o ponto que dista não mais que 5 km do ponto P = (-5, 5).
B é a alternativa correta.