Média Harmônica
Definimos a média harmônica entre os números reais e positivos x1, x2, x3, ..., xn como sendo o inverso da média aritmética do inverso destes números.
Como sabemos a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn é dada por:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7eF8xXHF1YWQrXHF1YWQgeF8yXHF1YWQrXHF1YWQgeF8zXHF1YWQrXHF1YWRcY2RvdHNccXVhZCtccXVhZCB4X259e259)
Só que no caso da Média harmônica estamos falando do inverso destes números, então teríamos a seguinte média aritmética:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7XGZyYWN7MX17eF8xfVxxdWFkK1xxdWFkXGZyYWN7MX17eF8yfVxxdWFkK1xxdWFkXGZyYWN7MX17eF8zfVxxdWFkK1xxdWFkXGNkb3RzXHF1YWQrXHF1YWRcZnJhY3sxfXt4X259fXtufQ==)
Além disto, como vimos que a Média harmônica é o inverso da média aritmética do inverso dos referidos números, então finalmente temos:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7bn17XGZyYWN7MX17eF8xfVxxdWFkK1xxdWFkXGZyYWN7MX17eF8yfVxxdWFkK1xxdWFkXGZyYWN7MX17eF8zfVxxdWFkK1xxdWFkXGNkb3RzXHF1YWQrXHF1YWRcZnJhY3sxfXt4X259fQ==)
Quando utilizamos a Média Harmônica?
A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais.
Um exemplo clássico é aquele onde estamos trabalhando com velocidade e tempo, pois ao aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrer um determinado trajeto e vice-versa.
Compreendendo o Conceito de Média Harmônica
Já estudamos a média aritmética e a média geométrica, que conceitualmente são de mais fácil compreensão, no entanto apesar de simples o seu cálculo, a média harmônica é um conceito um pouco mais difícil de se entender.
Para uma maior facilidade de assimilação do conceito, como de costume vamos recorrer a um exemplo:
Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média desenvolvida foi de 120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta?
Embora não tenha sido dito no enunciado, estamos considerando que os trajetos de ida e volta têm a mesma medida.
É fácil entender que a média aritmética das velocidades seria de 100 km/h:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7ODBccXVhZCtccXVhZDEyMH17Mn1ccXVhZD1ccXVhZDEwMA==)
Porém a pergunta não foi qual a média das velocidades, mas sim qual a velocidade média para realizar todo o percurso.
A resposta para esta pergunta seria a média harmônica de 96 km/h:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7Mn17XGZyYWN7MX17ODB9XHF1YWQrXHF1YWRcZnJhY3sxfXsxMjB9fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7Mn17XGZyYWN7M1xxdWFkK1xxdWFkMn17MjQwfX1ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezJ9e1xmcmFjezV9ezI0MH19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3syXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMjQwfXs1fVxxdWFkPVxxdWFkOTY=)
Mas por que 96 km/h? Em que se baseia este resultado?
Vamos fazer o seguinte, já que independentemente da distância entre as cidades as velocidades médias foram de 80 km/h na ida e de 100 km/h na volta, para facilitar a explicação vamos arbitrar que a distância entre as cidades A e B seja de 120 km.
Como base nestas informações podemos concluir que o tempo gasto na ida seria de uma hora e meia, que é a distância entre as cidades dividida pela velocidade média da ida:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MTIwfXs4MH1ccXVhZD1ccXVhZDEsNQ==)
Analogamente na volta o tempo gasto seria de uma hora:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MTIwfXsxMjB9XHF1YWQ9XHF1YWQx)
Então para realizar o percurso total de 240 km/h se gastaria 2,5 h, donde concluímos que a velocidade média foi de 96 km/h:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7MjQwfXsyLDV9XHF1YWQ9XHF1YWQ5Ng==)
Para ficar mais claro que os 96 km/h se referem à média harmônica, vamos incluir um passo a mais no cálculo realizado acima para apurá-la:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7Mn17XGZyYWN7MX17ODB9XHF1YWQrXHF1YWRcZnJhY3sxfXsxMjB9fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7Mn17XGZyYWN7M1xxdWFkK1xxdWFkMn17MjQwfX1ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezJ9e1xmcmFjezV9ezI0MH19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3syXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMjQwfXs1fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MjQwfXsyLDV9XHF1YWQ9XHF1YWQ5Ng==)
Percebeu?
Portanto:
A velocidade média para se percorrer todo o percurso de ida e volta seria de 96 km/h.
![](images/h700.gif)