Equação do Segundo Grau
Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.
Equação do 2° grau completa e equação do 2° grau incompleta
Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.
Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa. A sentença matemática -2x2 + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.
-x2 + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0.
Neste outro exemplo, 3x2 - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.
Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x2 = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.
Resolução de equações do 2° grau
A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.
Fórmula Geral de Resolução
Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:
![](MEx.ashx?eFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7LWJccXVhZCBccG1ccXVhZCBcc3FydHtiXjJccXVhZC00YWN9XHF1YWQgfXsyYX0=)
Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.
O valor b2 -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b2 -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:
![](MEx.ashx?eFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7LWJccXVhZCBccG1ccXVhZCBcc3FydHtcRGVsdGF9fXsyYX0=)
Resolução de equações do 2° grau incompletas
Para a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos:
Para o caso de apenas b = 0 temos:
![](MEx.ashx?YXheMlxxdWFkK1xxdWFkIGJ4XHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZDB4XHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBjXHF1YWQ9XHF1YWQwXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCBheF4yXHF1YWQ9XHF1YWQtY1xxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIHheMlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFje2N9e2F9XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkXHBtXHNxcnR7LVxmcmFje2N9e2F9fQ==)
Portanto para equações do tipo ax2 + c = 0, onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada
para calcularmos as suas raízes. Observe no entanto que a equação só possuirá raízes no conjunto dos números reais se
.
Para o caso de apenas c = 0 temos:
![](MEx.ashx?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)
Portanto para equações do tipo ax2 + bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre será igual a zero e a outra será dada pela fórmula
.
Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:
![](MEx.ashx?YXheMlxxdWFkK1xxdWFkIGJ4XHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCAwXHF1YWQrXHF1YWQwXHF1YWQ9XHF1YWQwXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgYXheMlxxdWFkPVxxdWFkMFxxcXVhZCBcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCB4XjJccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezB9e2F9XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeF4yXHF1YWQ9XHF1YWQwXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkXHBtXHNxcnR7MH0gXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkMA==)
Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero.
Discriminante da equação do 2° grau
O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.
Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b2 - 4ac, isto é: Δ = b2 - 4ac.
Discriminante menor que zero
Caso Δ < 0, a equação não tem raízes reais, pois
:
![](MEx.ashx?YXheMlxxdWFkK1xxdWFkIGJ4XHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7LWJccXVhZCBccG1ccXVhZCBcc3FydHtcRGVsdGF9fXsyYX1ccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXG5vdFxleGlzdHNccXVhZCB4XHF1YWRcaW5ccXVhZFxS)
Discriminante igual a zero
Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois
:
![](MEx.ashx?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)
Discriminante maior que zero
Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois
:
![](MEx.ashx?YXheMlxxdWFkK1xxdWFkIGJ4XHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7LWJccXVhZCBccG1ccXVhZCBcc3FydHtcRGVsdGF9fXsyYX1ccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGxlZnRce3hfMVxxdWFkPVxxdWFkIFxmcmFjey1iXHF1YWQgK1xxdWFkIFxzcXJ0e1xEZWx0YX19ezJhfVxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXFwgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWQgXGZyYWN7LWJccXVhZCAtXHF1YWQgXHNxcnR7XERlbHRhfX17MmF9)
Conjunto Verdade de equações do 2° grau
A partir do estudado acima, podemos esquematizar o conjunto verdade das equações do segundo grau completas e incompletas como a seguir:
Para o caso das equações completas temos:
![](MEx.ashx?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)
Para o caso das equações incompletas onde somente b = 0 temos:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7VlxxdWFkPVxxdWFkXGxlZnR7XHF1YWQgLVxzcXJ0eyAtXGZyYWN7Y317YX19XHF1YWQgLCBccXVhZFxzcXJ0eyAtXGZyYWN7Y317YX19XHF1YWQgXHJpZ2h0fVxxdWFkIHwgXHF1YWQtXGZyYWN7Y317YX1ccXVhZFxnZXFccXVhZCAwXHFxdWFkXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcICBWXHF1YWQ9XHF1YWRcYmlnbFx7XGJpZ3JcfQ0KXHF1YWR8XHF1YWQtXGZyYWN7Y317YX1ccXVhZDxccXVhZDA=)
Para o caso das equações incompletas onde somente c = 0 temos:
![](MEx.ashx?e1ZccXVhZD1ccXVhZFxsZWZ0e1xxdWFkIDBccXVhZCAsIFxxdWFkLVxmcmFje2J9e2F9XHF1YWQgXHJpZ2h0fQ==)
E no caso das equações incompletas onde tanto b = 0, quanto c = 0 temos:
![](MEx.ashx?e1ZccXVhZD1ccXVhZFxsZWZ0e1xxdWFkMFxxdWFkIFxyaWdodH0=)
Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau
Encontre as raízes da equação: 2x2 - 6x - 56 = 0
Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos:
![](MEx.ashx?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)
Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para Δ o valor 484, que é maior que zero.
Logo:
As raízes da equação 2x2 - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7.
![](images/h700.gif)