Equação Logarítmica
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada equação logarítmica.
Abaixo temos alguns exemplos de equações logarítmicas:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ197Mn1ccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWQz)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ197eH1ccXVhZDEwMFxxdWFkPVxxdWFkMg==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?N1xsb2dfezV9XHF1YWQ2MjV4XHF1YWQ9XHF1YWQ0Mg==)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?M1xsb2dfezJ4fVxxdWFkNjRccXVhZD1ccXVhZDk=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ197LTYteH1ccXVhZDJ4XHF1YWQ9XHF1YWQx)
Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um logaritmo.
Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos logaritmos.
Solucionando Equações Logarítmicas
Vamos solucionar cada uma das equações acima, começando pela primeira:
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ197Mn1ccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWQz)
Segundo a definição de logaritmo nós sabemos que:
![](MEx.ashx?XGxvZ18yXHF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkM1xxdWFkXExlZnRyaWdodGFycm93XHF1YWQyXjNccXVhZD1ccXVhZCB4)
Logo x é igual a 8:
![](MEx.ashx?Ml4zXHF1YWQ9XHF1YWQgeFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZDJccXVhZFxjZG90XHF1YWQyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMlxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZDg=)
De acordo com a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8 é um número real positivo, podemos aceitá-lo como solução da equação.
A esta restrição damos o nome de condição de existência.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ197eH1ccXVhZDEwMFxxdWFkPVxxdWFkMg==)
Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1.
Então a nossa condição de existência da equação acima é que:
![](MEx.ashx?eFxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9XyteKlxxdWFkLVxxdWFkXHsxXH0=)
Em relação a esta segunda equação nós podemos escrever a seguinte sentença:
![](MEx.ashx?XGxvZ194XHF1YWQxMDBccXVhZD1ccXVhZDJccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHheMlxxdWFkPVxxdWFkMTAw)
Que nos leva aos seguintes valores de x:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQ9XHF1YWQxMDBccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxwbVxzcXJ0ezEwMH1ccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZFxsZWZ0XHsgeFxxdWFkPVxxdWFkLTEwXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgeFxxdWFkPVxxdWFkMTA=)
Note que x = -10 não pode ser solução desta equação, pois este valor de x não satisfaz a condição de existência, já que -10 é um número negativo.
Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação, pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a condição de existência, visto que 10 é positivo e diferente de 1.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?N1xsb2dfezV9XHF1YWQ2MjV4XHF1YWQ9XHF1YWQ0Mg==)
Neste caso temos a seguinte condição de existência:
![](MEx.ashx?NjI1eFxxdWFkPlxxdWFkMFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ+XHF1YWRcZnJhY3swfXs2MjV9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD5ccXVhZDA=)
Voltando à equação temos:
![](MEx.ashx?N1xsb2dfezV9XHF1YWQ2MjV4XHF1YWQ9XHF1YWQ0MlxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkXGxvZ197NX1ccXVhZDYyNXhccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezQyfXs3fVxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkXGxvZ197NX1ccXVhZDYyNXhccXVhZD1ccXVhZDY=)
Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos temos:
![](MEx.ashx?XGxvZ197NX1ccXVhZDYyNXhccXVhZD1ccXVhZDZccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkNV42XHF1YWQ9XHF1YWQ2MjV4XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezVeNn17NjI1fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWQ1XjJccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkMjU=)
Como 25 satisfaz a condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação.
Se quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim:
![](MEx.ashx?N1xsb2dfezV9XHF1YWQ2MjV4XHF1YWQ9XHF1YWQ0MlxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkXGxvZ197NX1ccXVhZDYyNXhccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezQyfXs3fVxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkXGxvZ197NX1ccXVhZDYyNXhccXVhZD1ccXVhZDZccXVhZFxSaWdodGFycm93)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsb2dfezV9XHF1YWQ2MjVccXVhZCtccXVhZFxsb2dfezV9XHF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkNlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ0XHF1YWQrXHF1YWRcbG9nX3s1fVxxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZDZccXVhZFxSaWdodGFycm93XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGxvZ197NX1ccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWQ2XHF1YWQtXHF1YWQ0XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvdw==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsb2dfezV9XHF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkMlxxdWFkXExlZnRyaWdodGFycm93XHF1YWQ1XjJccXVhZD1ccXVhZCB4XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZDI1)
Lembre-se que
e que log5 625 = 4, pois 54 = 625.
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?M1xsb2dfezJ4fVxxdWFkNjRccXVhZD1ccXVhZDk=)
Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa:
![](MEx.ashx?MnhccXVhZD5ccXVhZDBccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeFxxdWFkPlxxdWFkXGZyYWN7MH17Mn1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeFxxdWFkPlxxdWFkMA==)
E, além disto, temos também a seguinte condição:
![](MEx.ashx?MnhccXVhZFxub3Q9XHF1YWQxXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZFxub3Q9XHF1YWRcZnJhY3sxfXsyfVw=)
Portanto a condição de existência é:
![](MEx.ashx?eFxxdWFkXGluXHF1YWRcbWF0aGJie1J9XyteKlxxdWFkLVxxdWFkXHtcZnJhY3sxfXsyfVx9)
Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior:
![](MEx.ashx?M1xsb2dfezJ4fVxxdWFkNjRccXVhZD1ccXVhZDlccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbG9nX3syeH1ccXVhZDY0XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s5fXszfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsb2dfezJ4fVxxdWFkNjRccXVhZD1ccXVhZDNccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkKDJ4KV4zXHF1YWQ9XHF1YWQ2NFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDJeM3heM1xxdWFkPVxxdWFkNjRccXVhZFxSaWdodGFycm93)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDh4XjNccXVhZD1ccXVhZDY0XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHheM1xxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7NjR9ezh9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHheM1xxdWFkPVxxdWFkOFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XjNccXVhZD1ccXVhZDJeM1xxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWQy)
Como x = 2 satisfaz a condição de existência da equação logarítmica, então 2 é solução da equação.
Assim como no exercício anterior, este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra propriedade dos logaritmos:
![](MEx.ashx?M1xsb2dfezJ4fVxxdWFkNjRccXVhZD1ccXVhZDlccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbG9nX3syeH1ccXVhZDJeNlxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7OX17M31ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ2XGxvZ197Mnh9XHF1YWQyXHF1YWQ9XHF1YWQzXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGxvZ197Mnh9XHF1YWQyXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3szfXs2fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dc)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsb2dfezJ4fVxxdWFkMlxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MX17Mn1ccXVhZFxMZWZ0cmlnaHRhcnJvd1xxdWFkKDJ4KV57XGZyYWN7MX17Mn19XHF1YWQ9XHF1YWQyXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGxlZnRcKCgyeClee1xmcmFjezF9ezJ9fVxyaWdodFwpXjJccXVhZD1ccXVhZDJeMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDJ4XHF1YWQ9XHF1YWQ0XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezR9ezJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZDI=)
![](images/trianglered.gif)
![](MEx.ashx?XGxvZ197LTYteH1ccXVhZDJ4XHF1YWQ9XHF1YWQx)
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos verificar quais são as condições de existência:
![](MEx.ashx?XGxvZ197LTYteH1ccXVhZDJ4XHF1YWQ9XHF1YWQxXHF1YWRcTGVmdHJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCgtNlxxdWFkLVxxdWFkIHgpXjFccXVhZD1ccXVhZDJ4XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkLTZccXVhZC1ccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWQyeFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDJ4XHF1YWQrXHF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkLTZccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7LTZ9ezN9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZC0y)
Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação.
Vamos analisar as condições de existência da base -6 - x:
![](MEx.ashx?XGxlZnRcey02XHF1YWQtXHF1YWQgeFxxdWFkPlxxdWFkMFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZC14XHF1YWQ+XHF1YWQ2XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZDxccXVhZC02XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwtNlxxdWFkLVxxdWFkIHhccXVhZFxub3Q9XHF1YWQxXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkLXhccXVhZFxub3Q9XHF1YWQ3XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZFxub3Q9XHF1YWQtNw==)
Veja que embora x ≠ -7, x não é menor que -6, portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e não pode ser solução da equação.
Embora não seja necessário, vamos analisar a condição de existência do logaritmando 2x:
![](MEx.ashx?MnhccXVhZD5ccXVhZDBccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeFxxdWFkPlxxdWFkMA==)
Como x = -2, então x também não satisfaz esta condição de existência, mas não é isto que eu quero que você veja.
O que eu quero que você perceba, é que enquanto uma condição diz que x < -6, a outra diz que x > 0.
Qual é o número real que além de ser menor que -6 é também maior que 0?
Como não existe um número real negativo, que sendo menor que -6, também seja positivo para que seja maior que zero, então sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não possui solução, já que nunca conseguiremos satisfazer as duas condições simultaneamente.
O conjunto solução da equação é portanto S = {}, já que não existe nenhuma solução real que satisfaça as condições de existência da equação.
![](images/h700.gif)