Equação Biquadrada
Qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax4 + bx2 + c = 0, com a, b e c pertencente ao conjunto dos números reais, sendo que a ≠ 0,denomina-se equação biquadrada na variável x.
Resolução de equações biquadradas
A resolução de uma equação biquadrada ax4 + bx2 + c = 0 pode ser efetuada nos seguintes passos:
Começamos substituindo, na equação inicial, x2 por y, assim como x4 por y2, desta forma temos:
ay2 + by + c = 0
Solucionamos a equação do segundo grau obtida, para identificarmos as suas raízes y1 e y2:
Substituímos os valores de y na expressão x2 = y para finalmente obtermos as raízes da equação biquadrada.
Para y1 temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQ9XHF1YWQgeV8xXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxwbVxzcXJ0e3lfMX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbGVmdHt4XzFccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0e3lfMX1cXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWQtXHNxcnR7eV8xfQ==)
Para y2 temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQ9XHF1YWQgeV8yXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxwbVxzcXJ0e3lfMn1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbGVmdHt4XzNccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0e3lfMn1cXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgeF80XHF1YWQ9XHF1YWQtXHNxcnR7eV8yfQ==)
O conjunto verdade da equação biquadrada será:
![](MEx.ashx?e1ZccXVhZD1ccXVhZFxsZWZ0e1xxdWFkLVxzcXJ0e3lfMn1ccXVhZCxccXVhZC1cc3FydHt5XzF9XHF1YWQsXHF1YWRcc3FydHt5XzF9XHF1YWQsXHF1YWRcc3FydHt5XzJ9XHF1YWRccmlnaHR9)
Exemplo de resolução de uma equação biquadrada
Encontre as raízes da equação biquadrada: 3x4 - 102x2 + 675 = 0
Conforme explicado, na equação vamos substituir x4 por y2 e também x2 e y, obtendo então a seguinte equação do segundo grau:
3y2 - 102y + 675 = 0
Resolvendo a mesma temos:
![](MEx.ashx?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)
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da equação biquadrada:
Para y1 temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQ9XHF1YWQyNVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XHF1YWQ9XHF1YWRccG1cc3FydHsyNX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcbGVmdHt4XzFccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezI1fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XzFccXVhZD1ccXVhZDVcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWQtXHNxcnR7MjV9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkLTU=)
Para y2 temos:
![](MEx.ashx?eF4yXHF1YWQ9XHF1YWQ5XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhccXVhZD1ccXVhZFxwbVxzcXJ0ezl9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkXGxlZnR7eF8zXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHs5fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB4XzNccXVhZD1ccXVhZDNcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgeF80XHF1YWQ9XHF1YWQtXHNxcnR7OX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF80XHF1YWQ9XHF1YWQtMw==)
Assim sendo:
As raízes da equação 3x4 - 102x2 + 675 = 0 são: -5, -3, 3 e 5.
![](images/h700.gif)