Teorema de Pitágoras
Observe o triângulo retângulo ao lado:
Ele é denominado triângulo retângulo por possuir um ângulo reto, ângulo este entre a base (lado horizontal) e a altura (lado vertical).
Cada um destes lados é denominado cateto. O outro lado, o maior deles, é denominado hipotenusa.
Segundo o Teorema de Pitágoras temos que a soma do quadrado da medida dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa, ou de forma simplificada:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Nomeando os catetos de a e b e a hipotenusa de c, o teorema é representado pela seguinte expressão:
![](MEx.ashx?Y14yXHF1YWQ9XHF1YWQgYV4yXHF1YWQrXHF1YWQgYl4y)
Ou ainda por:
![](MEx.ashx?YV4yXHF1YWQrXHF1YWQgYl4yXHF1YWQ9XHF1YWQgY14y)
Demonstração do Teorema de Pitágoras
Teorema é qualquer proposição que precisa ser demonstrada para que seja aceita.
Há várias formas de demonstrarmos o Teorema de Pitágoras, mas aqui iremos apresentar somente uma, que além de ser fácil de se explicar, também é fácil de se entender.
Vamos tomar 4 dos triângulos acima e montar uma figura como esta ao lado:
Como podemos observar, com os quatro triângulos formamos uma figura contendo dois quadrados, um interno e outro externo.
Os lados do quadrado interno têm medida igual a c. Já a medida dos lados do quadrado externo é igual a + b.
A área do quadrado externo é igual a soma da área dos quatro triângulos mais a área do quadrado interno. Isto pode ser assim representado:
![](MEx.ashx?KGFccXVhZCtccXVhZCBiKV4yXHF1YWQ9XHF1YWQ0XGxlZnRcKFxmcmFje2FifXsyfVxyaWdodFwpXHF1YWQrXHF1YWQgY14y)
Desenvolvendo esta expressão, cujo primeiro membro é um produto notável, concluímos a prova do teorema:
![](MEx.ashx?KGFccXVhZCtccXVhZCBiKV4yXHF1YWQ9XHF1YWQ0XGxlZnRcKFxmcmFje2FifXsyfVxyaWdodFwpXHF1YWQrXHF1YWQgY14yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgYV4yXHF1YWQrXHF1YWQyYWJccXVhZCtccXVhZCBiXjJccXVhZD1ccXVhZDJhYlxxdWFkK1xxdWFkIGNeMlxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIGFeMlxxdWFkK1xxdWFkIGJeMlxxdWFkPVxxdWFkIGNeMg==)
Neste nosso exemplo o cateto a é menor que o b, mas a demonstração se comprovaria mesmo que os catetos tivessem o mesmo comprimento, ou que medida de a fosse maior que a medida de b.
Exemplos da Utilização do Teorema de Pitágoras
Qual é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 66 cm e 88 cm?
Vamos assumir que a = 66 e que b = 88. Aplicando o teorema temos:
![](MEx.ashx?Y14yXHF1YWQ9XHF1YWQgYV4yXHF1YWQrXHF1YWQgYl4yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgY14yXHF1YWQ9XHF1YWQ2Nl4yXHF1YWQrXHF1YWQ4OF4yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgY14yXHF1YWQ9XHF1YWQ0MzU2XHF1YWQrXHF1YWQ3NzQ0XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcc3FydHtjXjJ9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHsxMjEwMH1ccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCBjXHF1YWQ9XHF1YWQxMTA=)
A hipotenusa mede 110 cm.
A base de um triângulo retângulo mede 48 mm e a sua hipotenusa 80 mm. Qual é a sua altura?
Digamos que:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQ/XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgYlxxdWFkPVxxdWFkNDhccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGNccXVhZD1ccXVhZDgw)
Segundo Pitágoras temos:
![](MEx.ashx?YV4yXHF1YWQrXHF1YWQgYl4yXHF1YWQ9XHF1YWQgY14yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgYV4yXHF1YWQrXHF1YWQ0OF4yXHF1YWQ9XHF1YWQ4MF4yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgYV4yXHF1YWQ9XHF1YWQ2NDAwXHF1YWQtXHF1YWQyMzA0XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWRcc3FydHthXjJ9XHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHs0MDk2fVxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIGFccXVhZD1ccXVhZDY0)
A altura deste triângulo é de 64 mm.
Os lados de um triângulo medem 15 m, 20 m e 23 m. Este é um triângulo retângulo?
Em um triângulo retângulo a hipotenusa é sempre o maior lado, então 15 m e 20 m se referem à medida dos catetos deste suposto triângulo retângulo.
Para descobrir se temos realmente um triângulo retângulo o procedimento é simples, basta calcularmos a medida da hipotenusa, através do Teorema de Pitágoras, para verificarmos se ela mede realmente 23 m. Se medir então temos de fato um triângulo retângulo:
![](MEx.ashx?Y14yXHF1YWQ9XHF1YWQgYV4yXHF1YWQrXHF1YWQgYl4yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgY14yXHF1YWQ9XHF1YWQxNV4yXHF1YWQrXHF1YWQyMF4yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgY14yXHF1YWQ9XHF1YWQyMjVccXVhZCtccXVhZDQwMFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkXHNxcnR7Y14yfVxxdWFkPVxxdWFkXHNxcnR7NjI1fVxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIGNccXVhZD1ccXVhZDI1)
Não, este não é um triângulo retângulo. Com catetos medindo 15 m e 20 m, para que tivéssemos um triângulo retângulo a medida da hipotenusa deveria ser 25 m e não 23 m.
Dois triângulos retângulos têm em comum a altura. A medida da hipotenusa do menor é igual a 20, já a hipotenusa do maior é igual a 37. Qual é a medida das bases sabendo-se que diferença entre elas é igual a 19?
Segundo Pitágoras, para o triângulo maior temos a seguinte equação:
![](MEx.ashx?YV4yXHF1YWQrXHF1YWQgYl4yXHF1YWQ9XHF1YWQzN14y)
Como a diferença entre os catetos distintos é igual a 19, em relação ao triângulo menor temos:
![](MEx.ashx?YV4yXHF1YWQrXHF1YWQoYlxxdWFkLVxxdWFkMTkpXjJccXVhZD1ccXVhZDIwXjI=)
Podemos isolar a2 na primeira equação:
![](MEx.ashx?YV4yXHF1YWQrXHF1YWQgYl4yXHF1YWQ9XHF1YWQzN14yXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFeMlxxdWFkPVxxdWFkMzdeMlxxdWFkLVxxdWFkIGJeMg==)
E substituí-lo na segunda:
![](MEx.ashx?YV4yXHF1YWQrXHF1YWQoYlxxdWFkLVxxdWFkMTkpXjJccXVhZD1ccXVhZDIwXjJccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQoMzdeMlxxdWFkLVxxdWFkIGJeMilccXVhZCtccXVhZChiXHF1YWQtXHF1YWQxOSleMlxxdWFkPVxxdWFkMjBeMg==)
Agora vamos desenvolver a equação para obtermos a medida do cateto b:
![](MEx.ashx?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)
Um dos catetos mede 35 e como a diferença entre eles é igual a 19, temos que ou outro mede 16:
![](MEx.ashx?MzVccXVhZC1ccXVhZDE5XHF1YWQ9XHF1YWQxNg==)
As bases medem 16 e 35.
Em relação ao problema anterior, qual é a altura dos triângulos retângulos?
Visto que os dois triângulos possuem a mesma altura, basta calcularmos a altura de apenas um deles.
Para trabalharmos com números menores vamos calcular utilizando os dados do triângulo menor:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQ/XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgYlxxdWFkPVxxdWFkMTZccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGNccXVhZD1ccXVhZDIw)
Basta aplicarmos Teorema de Pitágoras:
![](MEx.ashx?YV4yXHF1YWQrXHF1YWQgYl4yXHF1YWQ9XHF1YWQgY14yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgYV4yXHF1YWQrXHF1YWQxNl4yXHF1YWQ9XHF1YWQyMF4yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgYV4yXHF1YWQ9XHF1YWQ0MDBccXVhZC1ccXVhZDI1NlxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIGFccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezE0NH1ccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCBhXHF1YWQ9XHF1YWQxMg==)
A altura dos triângulos retângulos é igual 12.
Teorema de Pitágoras e os Números Irracionais.
Nos casos mostrados até aqui neste artigo, tivemos o cuidado de escolher triângulos com todos os lados sendo representados por números naturais. A intenção disto era facilitar o entendimento da matéria. Na prática porém, na maioria das vezes, principalmente a hipotenusa será um número irracional.
Quando isolamos uma das variáveis em função das outras, temos os seguintes casos:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHtjXjJccXVhZC1ccXVhZCBiXjJ9XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxiXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHtjXjJccXVhZC1ccXVhZCBhXjJ9XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxjXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHthXjJccXVhZCtccXVhZCBiXjJ9)
Nestes casos, quando o radicando não for um quadrado perfeito, a variável isolada será um número irracional.
Observe o triângulo retângulo ao lado:
Veja que a medida da sua hipotenusa é um número irracional.
Vamos calculá-la em função da medida dos catetos:
![](MEx.ashx?Y14yXHF1YWQ9XHF1YWQxMF4yXHF1YWQrXHF1YWQxMl4yXHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgY14yXHF1YWQ9XHF1YWQxMDBccXVhZCtccXVhZDE0NFxxcXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkIGNccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezI0NH1ccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCBjXHF1YWQ9XHF1YWRcc3FydHsyXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQ2MX1ccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCBjXHF1YWQ9XHF1YWQyXHNxcnR7NjF9)
é um número irracional, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por ele próprio resulte em 61.
![](images/h700.gif)