Exercícios resolvidos - Progressão Aritmética
Para maiores informações teóricas sobre este assunto veja também:Progressão Aritmética
1) O número 15 possui quantos múltiplos com 2 dígitos?
Sabemos que todos os números naturais são múltiplos de si mesmos exceto o zero, então neste exercício tratamos de uma P.A. que se inicia no número 15 e de quinze em quinze termina no número 90, que é o maior número com dois dígitos que é divisível por 15, ou seja, que é o maior múltiplo de quinze com dois dígitos.
Então os dados que possuímos para a resolução do problema são:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7YV8xXHF1YWQ9XHF1YWQxNVxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXCBhX25ccXVhZD1ccXVhZDkwXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcIHJccXVhZD1ccXVhZDE1)
Através da fórmula do termo geral vamos identificar o número de termos desta P.A.:
![](MEx.ashx?YV9uXHF1YWQ9XHF1YWQgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQoblxxdWFkLVxxdWFkMSlyXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkOTBccXVhZD1ccXVhZDE1XHF1YWQrXHF1YWQoblxxdWFkLVxxdWFkMSlccXVhZFxjZG90XHF1YWQxNVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDkwXHF1YWQtXHF1YWQxNVxxdWFkPVxxdWFkKG5ccXVhZC1ccXVhZDEpXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTVccXVhZFxSaWdodGFycm93XFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBuXHF1YWQtXHF1YWQxXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s3NX17MTV9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIG5ccXVhZD1ccXVhZDVccXVhZCtccXVhZDFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgblxxdWFkPVxxdWFkNg==)
Portanto a referida P.A. possui 6 termos.
Apenas para que você possa conferir, veja abaixo a P.A. completa:
P.A. ( 15, 30, 45, 60, 75, 90 )
Logo:
O número 15 possui 6 múltiplos com 2 dígitos.
2) Qual é o trigésimo múltiplo do número natural 21?
Sabemos que com exceção dele próprio, o número zero é múltiplo de todos os números naturais, então estamos tratando da seguinte P.A.:
P.A. ( 0, 21, 42, ..., a30 )
Estamos em busca do termo a30, sendo que dispomos dos seguintes dados:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7YV8xXHF1YWQ9XHF1YWQwXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcIG5ccXVhZD1ccXVhZDMwXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcIHJccXVhZD1ccXVhZDIx)
Através da fórmula do termo geral vamos identificá-lo:
![](MEx.ashx?YV9uXHF1YWQ9XHF1YWQgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQoblxxdWFkLVxxdWFkMSlyXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFfblxxdWFkPVxxdWFkMFxxdWFkK1xxdWFkKDMwXHF1YWQtXHF1YWQxKVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDIxXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFfblxxdWFkPVxxdWFkNjA5)
Logo:
O trigésimo múltiplo do número natural 21 é 609.
3) Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o primeiro termo?
Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7YV97MjB9XHF1YWQ9XHF1YWQ4MVxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXCBhX3szOX1ccXVhZD1ccXVhZDE3NlxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXCBuXHF1YWQ9XHF1YWQzOQ==)
Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o valor de metade da soma dos extremos.
Em notação matemática temos:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7YV8xXHF1YWQrXHF1YWQgYV97Mzl9fXsyfVxxdWFkPVxxdWFkIGFfezIwfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFje2FfMVxxdWFkK1xxdWFkMTc2fXsyfVxxdWFkPVxxdWFkODFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQxNzZccXVhZD1ccXVhZDgxXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzFccXVhZD1ccXVhZDE2MlxxdWFkLVxxdWFkMTc2XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFfMVxxdWFkPVxxdWFkLTE0)
Assim sendo:
O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.
4) Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão?
Vamos utilizar a fórmula abaixo na resolução do problema:
![](MEx.ashx?YV9uXHF1YWQ9XHF1YWQgYV9tXHF1YWQrXHF1YWQoblxxdWFkLVxxdWFkIG0pcg==)
Temos os seguintes dados:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7bVxxdWFkPVxxdWFkMTBcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgblxxdWFkPVxxdWFkMjBcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgYV97MTB9XHF1YWQ9XHF1YWQ0M1xcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXFxcXHF1YWRcXCBhX3syMH1ccXVhZD1ccXVhZDgz)
Substituindo-os na fórmula temos:
![](MEx.ashx?YV9uXHF1YWQ9XHF1YWQgYV9tXHF1YWQrXHF1YWQoblxxdWFkLVxxdWFkIG0pclxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDgzXHF1YWQ9XHF1YWQ0M1xxdWFkK1xxdWFkKDIwXHF1YWQtXHF1YWQxMClyXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkODNccXVhZC1ccXVhZDQzXHF1YWQ9XHF1YWQxMHJccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgclxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7NDB9ezEwfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCByXHF1YWQ9XHF1YWQ0)
Agora que conhecemos a razão da sucessão, podemos partir do termo a20, poderia ser o termo a10 se assim quiséssemos, para encontrarmos o termo a30:
![](MEx.ashx?YV97MzB9XHF1YWQ9XHF1YWQgYV97MjB9XHF1YWQrXHF1YWQoMzBccXVhZC1ccXVhZDIwKVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDRccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV97MzB9XHF1YWQ9XHF1YWQ4M1xxdWFkK1xxdWFkKDMwXHF1YWQtXHF1YWQyMClccXVhZFxjZG90XHF1YWQ0XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFfezMwfVxxdWFkPVxxdWFkODNccXVhZCtccXVhZDQwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFfezMwfVxxdWFkPVxxdWFkMTIz)
Assim sendo:
O trigésimo termo desta sucessão é igual a 123.
5) A soma dos dez termos de uma P.A. é igual a -35. O último termo é igual ao número de termos. Qual é o primeiro termo?
Do enunciado tiramos que o último termo, a10, é igual a 10. Então podemos utilizar a fórmula a seguir para solucionarmos a questão:
![](MEx.ashx?U19uXHF1YWQ9XHF1YWQgblxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxmcmFjeyhccXVhZCBhXzFccXVhZCtccXVhZCBhX25ccXVhZCl9ezJ9)
Dispomos dos seguintes dados:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7blxxdWFkPVxxdWFkMTBcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgU197MTB9XHF1YWQ9XHF1YWQtMzVcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgYV97MTB9XHF1YWQ9XHF1YWQxMA==)
Substituindo-os na fórmula em busca de a1 temos:
![](MEx.ashx?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)
Portanto:
O primeiro termo desta progressão é igual a -17.
6) Há uma certa P.A. que tanto o primeiro termo, quanto a razão são iguais ao número de termos. Sabe-se que a soma do primeiro com quarto termo é igual a 40. Qual é esta P.A.?
Temos os seguintes dados:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7YV8xXHF1YWQ9XHF1YWQgclxxdWFkPVxxdWFkIG5cXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFxcXFxxdWFkXFwgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQgYV80XHF1YWQ9XHF1YWQ0MA==)
Utilizaremos a fórmula abaixo para representarmos a4 em função de a1:
![](MEx.ashx?YV9uXHF1YWQ9XHF1YWQgYV9tXHF1YWQrXHF1YWQoblxxdWFkLVxxdWFkIG0pcg==)
Para n = 4 do termo a4 e m = 1 do termo a1, temos:
![](MEx.ashx?YV9uXHF1YWQ9XHF1YWQgYV9tXHF1YWQrXHF1YWQoblxxdWFkLVxxdWFkIG0pclxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzRccXVhZD1ccXVhZCBhXzFccXVhZCtccXVhZCg0XHF1YWQtXHF1YWQxKWFfMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzRccXVhZD1ccXVhZCBhXzFccXVhZCtccXVhZDNhXzFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV80XHF1YWQ9XHF1YWQ0YV8x)
Portanto a4 = 4a1 e como sabemos que a1 + a4 = 40 temos:
![](MEx.ashx?YV8xXHF1YWQrXHF1YWQgYV80XHF1YWQ9XHF1YWQ0MFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzFccXVhZCtccXVhZDRhXzFccXVhZD1ccXVhZDQwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkNWFfMVxxdWFkPVxxdWFkNDBccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV8xXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s0MH17NX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV8xXHF1YWQ9XHF1YWQ4)
Como temos uma P.A. com 8 termos, que se inicia em 8 e cuja razão também é igual a 8 temos:
A P.A. procurada é P.A. ( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 ).
7) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendo-se que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81?
Na resolução deste problema utilizaremos a seguinte fórmula:
![](MEx.ashx?U197cCxxfVxxdWFkPVxxdWFkKHFccXVhZC1ccXVhZCBwXHF1YWQrXHF1YWQxKVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxmcmFjeyhccXVhZCBhX3BccXVhZCtccXVhZCBhX3FccXVhZCl9ezJ9)
Temos os seguintes dados:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7cFxxdWFkPVxxdWFkNVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIHFccXVhZD1ccXVhZDE5XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgYV81XHF1YWQ9MzJcXFxxdWFkXFxhX3sxOX1ccXVhZD1ccXVhZDgx)
Substituindo estes dados na fórmula acima temos:
![](MEx.ashx?U197cCxxfVxxdWFkPVxxdWFkKHFccXVhZC1ccXVhZCBwXHF1YWQrXHF1YWQxKVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxmcmFjeyhccXVhZCBhX3BccXVhZCtccXVhZCBhX3FccXVhZCl9ezJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNfezUsMTl9XHF1YWQ9XHF1YWQoMTlccXVhZC1ccXVhZDVccXVhZCtccXVhZDEpXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXGZyYWN7KFxxdWFkMzJccXVhZCtccXVhZDgxXHF1YWQpfXsyfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgU197NSwxOX1ccXVhZD1ccXVhZDE1XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXGZyYWN7MTEzfXsyfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBTX3s1LDE5fVxxdWFkPVxxdWFkODQ3LDU=)
Portanto:
A soma do quinto ao décimo-nono termo desta P.A. é igual a 847,5.
8) A soma dos 3 termos de uma P.A. decrescente finita é igual a 21 e o seu produto é igual a 231. Qual é o valor do último termo?
Temos então a seguinte progressão aritmética:
P.A. ( a1, a2, a3 )
Como visto na parte teórica, sabemos que podemos representar um termo em função de outro, através da adição ou da subtração da razão, de n vezes a razão, onde n é a quantidade de termos deslocados de um ao outro.
Pensando nisto podemos eleger o termo a2 para representarmos todos os outros em função dele, assim:
P.A. ( a2 - r, a2, a2 + r )
Mas por que foi escolhido o termo a2 e não o a1, por exemplo?
Caso tivéssemos escolhido o termo a1 teríamos:
P.A. ( a1, a1 + r, a1 + 2r )
Repare que como a2 é o termo central, ao escolhê-lo temos a possibilidade de eliminarmos a razão r e encontramos o seu valor ao somarmos todos os termos da P.A., vejamos:
![](MEx.ashx?YV8yXHF1YWQtXHF1YWQgclxxdWFkK1xxdWFkIGFfMlxxdWFkK1xxdWFkIGFfMlxxdWFkK1xxdWFkIHJccXVhZFxxdWFkPVxxdWFkMjFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQzYV8yXHF1YWQ9XHF1YWQyMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzJccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezIxfXszfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzJccXVhZD1ccXVhZDc=)
No entanto podemos ver que se tivéssemos escolhido o termo a1 isto não seria possível:
![](MEx.ashx?YV8xXHF1YWQrXHF1YWQgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQgclxxdWFkK1xxdWFkIGFfMVxxdWFkK1xxdWFkXHF1YWQyclxxdWFkPVxxdWFkMjFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQzYV8xXHF1YWQrXHF1YWQzclxxdWFkPVxxdWFkMjFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQgclxxdWFkPVxxdWFkNw==)
Note que neste caso teríamos uma expressão com duas variáveis, o que não nos permitiria obter o valor das mesmas a partir de uma única sentença.
Agindo de forma análoga, na expressão do produto iremos escrever os demais termos também em função de a2, visto que este é um valor já identificado:
![](MEx.ashx?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)
Visto que a P.A. é decrescente, a sua razão é negativa. Como a2 = 7, r = -4 e a3 = a2 + r, temos que:
![](MEx.ashx?YV8zXHF1YWQ9XHF1YWQgYV8yXHF1YWQrXHF1YWQgclxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzNccXVhZD1ccXVhZDdccXVhZCtccXVhZCgtNClccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV8zXHF1YWQ9XHF1YWQz)
Logo:
O valor do último termo desta P.A. é igual a 3.
9) A soma dos 5 primeiros termos de uma P.A. é igual a -35 e a soma dos 10 primeiros termos é igual a 5. Qual é a soma dos 15 primeiros termos desta P.A.?
Sabemos que através da fórmula abaixo podemos calcular a soma dos n primeiro termos de uma progressão aritmética. Com o auxílio dela iremos solucionar o problema.
![](MEx.ashx?U19uXHF1YWQ9XHF1YWQgblxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxmcmFjeyhccXVhZCBhXzFccXVhZCtccXVhZCBhX25ccXVhZCl9ezJ9)
Para a soma dos 5 primeiros termos temos:
![](MEx.ashx?U181XHF1YWQ9XHF1YWQ1XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXGZyYWN7KFxxdWFkIGFfMVxxdWFkK1xxdWFkIGFfNVxxdWFkKX17Mn1ccXVhZD1ccXVhZC0zNVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzFccXVhZCtccXVhZCBhXzVccXVhZD1ccXVhZC0xNA==)
Para a soma dos 10 primeiros termos temos:
![](MEx.ashx?U197MTB9XHF1YWQ9XHF1YWQxMFxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxmcmFjeyhccXVhZCBhXzFccXVhZCtccXVhZCBhX3sxMH1ccXVhZCl9ezJ9XHF1YWQ9XHF1YWQ1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFfMVxxdWFkK1xxdWFkIGFfezEwfVxxdWFkPVxxdWFkMQ==)
Expressando estas duas equações em função de a1 temos:
![](MEx.ashx?XGxlZnR7YV8xXHF1YWQrXHF1YWQgYV81XHF1YWQ9XHF1YWQtMTRccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQ0clxxdWFkPVxxdWFkLTE0XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMmFfMVxxdWFkK1xxdWFkNHJccXVhZD1ccXVhZC0xNFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgYV8xXHF1YWQrXHF1YWQgYV97MTB9XHF1YWQ9XHF1YWQxXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFfMVxxdWFkK1xxdWFkIGFfMVxxdWFkK1xxdWFkOXJccXVhZD1ccXVhZDFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQyYV8xXHF1YWQrXHF1YWQ5clxxdWFkPVxxdWFkMQ==)
Multiplicando 2a1 + 4r = -14 por -1 e somando com 2a1 + 9r = 1, temos:
![](MEx.ashx?XGJlZ2lue3RhYnVsYXJ9e2MgYyBjIGMgY30yYV8xJismNHImPSYtMTRccXF1YWRcY2RvdCgtMSlcXDJhXzEmKyY5ciY9JjFccXF1YWRccXF1YWRccXF1YWRccXF1YWRcXFxobGluZVxxdWFkJlxxdWFkJjVyJj0mMTVccXVhZFxSaWdodGFycm93XHFxdWFkXHFxdWFkXGVuZHt0YWJ1bGFyfQ==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDVyXHF1YWQ9XHF1YWQxNVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCByXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3sxNX17NX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgclxxdWFkPVxxdWFkMw==)
Tendo conhecimento do valor da razão, podemos identificar o valor de a1 na expressão 2a1 + 9r = 1:
![](MEx.ashx?MmFfMVxxdWFkK1xxdWFkOXJccXVhZD1ccXVhZDFccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQyYV8xXHF1YWQrXHF1YWQ5XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkM1xxdWFkPVxxdWFkMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDJhXzFccXVhZD1ccXVhZDFccXVhZC1ccXVhZDI3XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFfMVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7LTI2fXsyfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXzFccXVhZD1ccXVhZC0xMw==)
Finalmente conhecendo-se o valor de a1 e da razão, podemos calcular a soma dos 15 primeiros termos:
![](MEx.ashx?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)
Assim sendo:
A soma dos 15 primeiros termos desta P.A. é igual a 120.
10) A soma dos termos da P.A.(5+x, 10+x, 15+x, ..., 100+x) é igual a 1110. Qual é valor de x?
Primeiramente iremos calcular a razão da progressão aritmética:
![](MEx.ashx?clxxdWFkPVxxdWFkIGFfMlxxdWFkLVxxdWFkIGFfMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCByXHF1YWQ9XHF1YWQoMTBccXVhZCtccXVhZCB4KVxxdWFkLVxxdWFkKDVccXVhZCtccXVhZCB4KVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCByXHF1YWQ9XHF1YWQxMFxxdWFkK1xxdWFkIHhccXVhZC1ccXVhZDVccXVhZC1ccXVhZCB4XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHJccXVhZD1ccXVhZDU=)
Agora temos como calcular o seu número de termos:
![](MEx.ashx?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)
Finalmente iremos calcular o valor de x:
![](MEx.ashx?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)
Portanto:
O valor de x é 3.
![](images/h700.gif)