Um terreno retangular possui um perímetro de 1568 m. Sabendo-se que a medida das suas diagonais é de 656 m, quanto mede cada um dos seus lados?
A figura ao lado representa o terreno retangular tratado nesta questão:
Observe que na figura temos 2 triângulos retângulos iguais, sendo que a diagonal do retângulo corresponde à hipotenusa destes dois triângulos.
Para solucionarmos este problema precisamos calcular o valor dos catetos b e c. Isto é possível, pois conhecemos o valor da hipotenusa, além de podermos calcular a soma da medida destes dois catetos.
O enunciado diz que o perímetro do retângulo é igual a 1568 m, portanto a soma das medidas dos catetos b e c é igual a metade disto:
Segundo o Teorema de Pitágoras a soma do quadrado da medida dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Em função destes conhecimentos temos que:
Vamos isolar b na primeira equação:
Agora vamos substituí-lo na segunda:
O primeiro termo desta equação é um produto notável, mais especificamente o quadrado da diferença de dois termos, que desenvolvido nos leva a:
Chegamos então à seguinte equação do segundo grau:
Vamos solucioná-la começando pelo cálculo do seu discriminante. Os seus coeficientes são:
Logo temos o seguinte discriminante:
Tópico relacionadoDecomposição de um Número Natural em Fatores Primos
Agora vamos recorrer à fórmula de Bhaskara:
Vejamos:
Estas raízes são os valores de c e também de b, justamente a solução da questão, mas como sabemos disto?
Segundo as relações de Albert Girard a soma das raízes de uma equação do segundo grau é dada por:
De onde temos que:
Note que a soma das raízes é justamente a soma dos valores de b e c conforme o enunciado:
Veja que para c = 640 temos b = 144:
Obviamente para c = 144 temos b = 640:
Veja que não há nada que nos indique que b deve ser o cateto menor e c o maior, por isto temos que b = 144 e c = 640, ou b = 640 e c = 144.
Dois lados medem 144 m e os outros dois medem 640 m.
