Um projétil caiu a 50 km do ponto de lançamento e o seu trajeto seguiu a curva de uma função quadrática. Considerando-se que o ponto de lançamento tenha sido a origem do plano cartesiano, que o projétil atingiu uma altura máxima de 6,25 km e que o alvo estava no mesmo nível do ponto de lançamento, qual a lei de formação da referida função?
Este problema requer que, conhecidos três pontos de uma função do segundo grau, obtenhamos a sua lei de formação.
A figura ao lado reflete as informações contidas no enunciado:
O local do lançamento é representado pelo ponto O(0, 0), a origem do Plano Cartesiano.
O ponto A(50, 0) representa o alvo que o projétil atingiu.
Note que estando no mesmo nível, os pontos O e A possuem a mesma ordenada 0.
O ponto V(25; 6,25) representa o local em que o projétil atingiu a maior altura. Veja que a abscissa deste ponto é a média aritmética entre as abscissas dos pontos O e A. A ordenada é 6,25 segundo o enunciado.
Como você deve saber, toda função
na forma
, com
(
,
e
) é denominada função quadrática, ou função polinomial do 2° grau.
Como são conhecidos três pontos da função já temos condições de obter a sua lei de formação.
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBPKDAsXHF1YWQwKVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIFYoMjU7XHF1YWQ2LDI1KVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIEEoNTAsXHF1YWQwKQ==)
Vamos começar obtendo o valor do coeficiente c. Para isto vamos substituir os valores xO = 0 e yO = 0, referentes ao ponto O, como abaixo:
![](MEx.ashx?eVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQwXHF1YWQ9XHF1YWQgYVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDBeMlxxdWFkK1xxdWFkIGJccXVhZFxjZG90XHF1YWQwXHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBjXHF1YWQ9XHF1YWQw)
Visto que c = 0, para o ponto V, com xV = 25 e yV = 6,25, temos:
![](MEx.ashx?eVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ2LDI1XHF1YWQ9XHF1YWQgYVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDI1XjJccXVhZCtccXVhZCBiXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMjVccXVhZCtccXVhZDBccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ2MjVhXHF1YWQrXHF1YWQyNWJccXVhZD1ccXVhZDYsMjU=)
Finalmente para o ponto A, com xA = 50 e yA = 0, temos:
![](MEx.ashx?eVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQwXHF1YWQ9XHF1YWQgYVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDUwXjJccXVhZCtccXVhZCBiXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNTBccXVhZCtccXVhZDBccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQyNTAwYVxxdWFkK1xxdWFkNTBiXHF1YWQ9XHF1YWQw)
Com base nesta duas últimas equações podemos montar um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas e solucioná-lo para encontrarmos o valor de a e b:
![](MEx.ashx?XGxlZnRce1xxdWFkNjI1YVxxdWFkK1xxdWFkMjViXHF1YWQ9XHF1YWQ2LDI1XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwyNTAwYVxxdWFkK1xxdWFkNTBiXHF1YWQ9XHF1YWQw)
Obtemos o valor de a multiplicando a primeira equação por -2 e a somando à segunda:
![](MEx.ashx?XGxlZnRce1xxdWFkNjI1YVxxdWFkK1xxdWFkMjViXHF1YWQ9XHF1YWQ2LDI1XHF1YWQoXGNkb3RccXVhZC0yKVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcMjUwMGFccXVhZCtccXVhZDUwYlxxdWFkPVxxdWFkMA==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxsZWZ0XHtcdW5kZXJsaW5ley0xMjUwYVxxdWFkLVxxdWFkNTBiXHF1YWQ9XHF1YWQtMTIsNVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHFxdWFkMjUwMGFccXVhZCtccXVhZDUwYlxxdWFkPVxxdWFkMFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcfVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHFxdWFkMTI1MGFccXVhZCtccXF1YWQwYlxxdWFkPVxxdWFkLTEyLDVccXF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCBhXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3stMTIsNX17MTI1MH1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYVxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezF9ezEwMH0=)
O valor de b será obtido ao substituirmos o valor de a na segunda equação:
![](MEx.ashx?MjUwMGFccXVhZCtccXVhZDUwYlxxdWFkPVxxdWFkMFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDI1MDBccXVhZFxjZG90XHF1YWQtXGZyYWN7MX17MTAwfVxxdWFkK1xxdWFkNTBiXHF1YWQ9XHF1YWQwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkLTI1XHF1YWQrXHF1YWQ1MGJccXVhZD1ccXVhZDBccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYlxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MjV9ezUwfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBiXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3sxfXsyfQ==)
Agora que conhecemos o valor dos três coeficientes podemos concluir a questão escrevendo a lei de formação da função:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBhXHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7MX17MTAwfVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIGJccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezF9ezJ9XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgY1xxdWFkPVxxdWFkMA==)
Substituindo o valor dos coeficientes temos:
![](MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgZih4KVxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezF9ezEwMH0geF4yXHF1YWQrXHF1YWRcZnJhY3sxfXsyfSB4XHF1YWQrXHF1YWQwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGYoeClccXVhZD1ccXVhZC1cZnJhY3t4XjJ9ezEwMH1ccXVhZCtccXVhZFxmcmFje3h9ezJ9)
A lei de formação da referida função é:
.