Um veículo fez o percurso de uma cidade a outra desenvolvendo uma velocidade média de 40 km/h. Assumindo que na volta o veículo percorra a mesma quilometragem, qual deve ser a sua
velocidade média no retorno para que a velocidade média na realização de todo o percurso seja de 48 km/h?
Há vários métodos de cálculo da média de um conjunto de valores. Aqui no Matemática Didática publicamos três artigos sobre o assunto: Média Aritmética, Média Geométrica e Média Harmônica. A média harmônica é um expediente que utilizaremos na resolução deste problema.
Utilizamos a média harmônica quando temos grandezas inversamente proporcionais. No caso deste problema, a velocidade e o tempo.
A velocidade média é a razão do espaço percorrido para o tempo de viagem:
Visto que a distância entre as cidades é constante, ao aumentarmos a velocidade levaremos um tempo menor para percorrer a distância e aumentando o tempo de viagem temos que diminuir a velocidade para manter a distância a ser percorrida:
Por exemplo, se dobrarmos o tempo, a velocidade será reduzida à metade. Se triplicarmos a velocidade, o tempo será reduzido a um terço para que a distância se mantenha a mesma.
Como vimos no referido artigo, a média harmônica de n elementos é calculada pela expressão:
O enunciado nos dá dois valores: 40 km/h que se refere à velocidade média na ida e 48 km/h referente a velocidade média desejada para todo o percurso, ou seja, a média harmônica.
Substituindo tais valores na expressão acima temos:
Como são apenas dois valores, a média harmônica pode ser obtida através da seguinte fórmula:
A utilizando para solucionar o problema temos:
Como vimos a velocidade média a ser desenvolvida na volta é de 60 km/h.
Se você é um estudante com um bom raciocínio matemático provavelmente deve ter resolvido este problema de uma outra forma. Se não o fez, vejamos como isto pode realizado:
Digamos que a distância entre as cidades seja de 240 km. Escolhemos o número 240 porque ele é múltiplo tanto de 40, quanto de 48. Podemos arbitrar qualquer valor porque o enunciado não faz nenhuma menção ao tempo de viagem, nem à distância percorrida. Lembre-se que a escolha de um valor a esmo muitas vezes é um artifício que pode ser utilizado na resolução de um problema.
O percurso de ida e volta será então de 480 km, o dobro do valor arbitrado, que será percorrido em 10 h visto que a velocidade média de toda a viagem será de 48 km/h:
Obviamente para se percorrer os 240 km da ida a uma velocidade média de 40 km/h foram consumidas 6 h:
Então inferimos que o tempo de viagem na volta será de apenas 4 h:
Ora, se temos 4 h para percorrer 240 km, então a velocidade média no trajeto de volta terá que ser de 60 km/h:
A velocidade média na volta deve ser de 60 km/h.
