Um veículo fez o percurso de uma cidade a outra desenvolvendo uma velocidade média de 40 km/h. Assumindo que na volta o veículo percorra a mesma quilometragem, qual deve ser a sua
velocidade média no retorno para que a velocidade média na realização de todo o percurso seja de 48 km/h?
Há vários métodos de cálculo da média de um conjunto de valores. Aqui no Matemática Didática publicamos três artigos sobre o assunto: Média Aritmética, Média Geométrica e Média Harmônica. A média harmônica é um expediente que utilizaremos na resolução deste problema.
Utilizamos a média harmônica quando temos grandezas inversamente proporcionais. No caso deste problema, a velocidade e o tempo.
A velocidade média é a razão do espaço percorrido para o tempo de viagem:
![](MEx.ashx?Vl9tXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tzfXt0fQ==)
Visto que a distância entre as cidades é constante, ao aumentarmos a velocidade levaremos um tempo menor para percorrer a distância e aumentando o tempo de viagem temos que diminuir a velocidade para manter a distância a ser percorrida:
![](MEx.ashx?Vl9tXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tzfXt0fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBzXHF1YWQ9XHF1YWQgVl9tXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIHQ=)
Por exemplo, se dobrarmos o tempo, a velocidade será reduzida à metade. Se triplicarmos a velocidade, o tempo será reduzido a um terço para que a distância se mantenha a mesma.
Como vimos no referido artigo, a média harmônica de n elementos é calculada pela expressão:
![](MEx.ashx?TV9oXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tufXtcZnJhY3sxfXt4XzF9XHF1YWQrXHF1YWRcZnJhY3sxfXt4XzJ9XHF1YWQrXHF1YWRcZnJhY3sxfXt4XzN9XHF1YWQrXHF1YWRcY2RvdHNccXVhZCtccXVhZFxmcmFjezF9e3hfbn19)
O enunciado nos dá dois valores: 40 km/h que se refere à velocidade média na ida e 48 km/h referente a velocidade média desejada para todo o percurso, ou seja, a média harmônica.
Substituindo tais valores na expressão acima temos:
![](MEx.ashx?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)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezQ4fXt4XzJ9XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s4MFxxdWFkLVxxdWFkNDh9ezQwfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxmcmFjezQ4fXt4XzJ9XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3szMn17NDB9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7NDhccXVhZFxjZG90XHF1YWQ0MH17MzJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfMlxxdWFkPVxxdWFkNjA=)
Como são apenas dois valores, a média harmônica pode ser obtida através da seguinte fórmula:
![](MEx.ashx?TV9oXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3syeF8xeF8yfXt4XzFccXVhZCtccXVhZCB4XzJ9)
A utilizando para solucionar o problema temos:
![](MEx.ashx?TV9oXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3syeF8xeF8yfXt4XzFccXVhZCtccXVhZCB4XzJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkNDhccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezJccXVhZFxjZG90XHF1YWQ0MHhfMn17NDBccXVhZCtccXVhZCB4XzJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkNDgoNDBccXVhZCtccXVhZCB4XzIpXHF1YWQ9XHF1YWQ4MHhfMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDE5MjBccXVhZCtccXVhZDQ4eF8yXHF1YWQ9XHF1YWQ4MHhfMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3c=)
![](MEx.ashx?ODB4XzJccXVhZC1ccXVhZDQ4eF8yXHF1YWQ9XHF1YWQxOTIwXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMzJ4XzJccXVhZD1ccXVhZDE5MjBccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3sxOTIwfXszMn1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeF8yXHF1YWQ9XHF1YWQ2MA==)
Como vimos a velocidade média a ser desenvolvida na volta é de 60 km/h.
Se você é um estudante com um bom raciocínio matemático provavelmente deve ter resolvido este problema de uma outra forma. Se não o fez, vejamos como isto pode realizado:
Digamos que a distância entre as cidades seja de 240 km. Escolhemos o número 240 porque ele é múltiplo tanto de 40, quanto de 48. Podemos arbitrar qualquer valor porque o enunciado não faz nenhuma menção ao tempo de viagem, nem à distância percorrida. Lembre-se que a escolha de um valor a esmo muitas vezes é um artifício que pode ser utilizado na resolução de um problema.
O percurso de ida e volta será então de 480 km, o dobro do valor arbitrado, que será percorrido em 10 h visto que a velocidade média de toda a viagem será de 48 km/h:
![](MEx.ashx?Vl9tXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tzfXt0fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDQ4XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s0ODB9e3R9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHRccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezQ4MH17NDh9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHRccXVhZD1ccXVhZDEw)
Obviamente para se percorrer os 240 km da ida a uma velocidade média de 40 km/h foram consumidas 6 h:
![](MEx.ashx?Vl9tXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tzfXt0fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDQwXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3syNDB9e3R9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHRccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezI0MH17NDB9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHRccXVhZD1ccXVhZDY=)
Então inferimos que o tempo de viagem na volta será de apenas 4 h:
![](MEx.ashx?dFxxdWFkPVxxdWFkMTBccXVhZC1ccXVhZDZccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgdFxxdWFkPVxxdWFkNA==)
Ora, se temos 4 h para percorrer 240 km, então a velocidade média no trajeto de volta terá que ser de 60 km/h:
![](MEx.ashx?Vl9tXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tzfXt0fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBWX21ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezI0MH17NH1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgVl9tXHF1YWQ9XHF1YWQ2MA==)
A velocidade média na volta deve ser de 60 km/h.