No estudo da análise combinatória ensinamos como aplicar o princípio fundamental da contagem. Neste "O xis da questão" o utilizaremos para solucionar o seguinte problema:
Quantos são os números múltiplos de 25 que possuem 5 algarismos distintos?
Aqui no Matemática Didática temos um artigo publicado sobre os critérios de divisibilidade, dentre eles o da divisão por 25.
Neste artigo vimos que um número é divisível por 25 quando os dois últimos algarismos formam um múltiplo de 25.
Entender porque este raciocínio é verdadeiro é bastante simples. Para isto vamos tomar o número 350 como exemplo.
50 que é o número formado pelos dois dígitos finais de 350 é um múltiplo de 25, portanto, é divisível por 25. Como é sabido, 50 dividido por 25 é igual a 2.
Sabemos que 50 é divisível por 25, mas baseado em que podemos afirma que 350 também o é?
Isto pode ser facilmente compreendido se o expressarmos como a seguinte soma:
Repare que o número 300 na primeira parcela termina com 00 que é divisível por 25. Visto que a segunda parcela também é divisível por este número, então a soma também é divisível por 25.
Na verdade todo número múltiplo de 100 é divisível por 25, haja vista que 25 vezes 4 é igual a 100.
Isto que explicamos pode ser observado na expressão abaixo:
Como podemos observar, as duas parcelas são múltiplas de 25, isto é, divisíveis por 25.
Vamos analisar o número 731 como contraexemplo. Para isto vamos utilizar o mesmo raciocínio:
Como podemos observar a primeira parcela é múltipla de 25, mas a segunda não é. De fato, 31 é um número primo.
Se 31 fosse divisível por 25, 731 também seria.
Como o tema deste exercício é o princípio fundamental da contagem e não o critério da divisibilidade por 25, vamos voltar ao foco desta questão, visto que o enunciado pergunta quantos são os números múltiplos de 25 que possuem 5 algarismos distintos.
Como os números inteiros divisíveis por 25 terminam em 00, 25, 50 ou 75 e já que o enunciado pede números com algarismos distintos, todos aqueles que são múltiplos de 100 devem ser desconsiderados, pois terminam com dois algarismos iguais a zero, não possuindo, portanto, todos os algarismos distintos. Temos então que considerar apenas os números que terminam com 25, 50 ou 75.
Vamos separá-los em dois grupos. Os que terminam em 5 e os que terminam em 0.
No caso dos números que terminam em 5, para o último algarismos temos apenas uma possibilidade, ou seja o próprio 5:
Para o penúltimo algarismo temos duas possibilidades, o 2 e 7, pois os números devem terminar em 25 ou 75 para serem divisíveis por 25:
Para termos um número com cinco algarismos significativos, o primeiro não pode ser zero. Como já utilizamos dois dos dez disponíveis e temos ainda que desconsiderar o dígito zero, para o primeiro algarismo temos apenas 7 possibilidades:
Como utilizamos mais um dígito, para o primeiro algarismo, para o segundo algarismo restariam apenas seis possibilidades, mas como nesta posição podemos utilizar o zero, então também restam sete possibilidades para esta posição:
Para a posição central resta um algarismo a menos, ou seja, seis:
Para calcularmos quantos são os números com cinco algarismos distintos que terminam em 25 ou 75 basta calcularmos o produto destes números de possibilidades:
Precisamos agora calcular quantos são os números com cinco algarismos distintos que terminam em 50. Para isto vamos novamente recorrer ao princípio fundamental da contagem:
Como o último algarismo só pode ser o 0, para esta posição só temos uma possibilidade:
Para o penúltimo algarismo também temos apenas uma possibilidade, o 5:
Para o primeiro algarismo neste caso temos 8 possibilidades e não apenas 7 como anteriormente, isto porque o algarismo 0 já foi utilizado na última posição:
Para a segunda posição temos uma possibilidade a menos, visto que mais um algarismo foi utilizado na primeira posição:
Finalmente para a terceira posição temos outra possibilidade a menos, portanto, 6 possibilidades:
Multiplicando estes números de possibilidades encontramos 336:
Totalizando estes dois produtos iremos obter a resposta procurada:
São 924 os números múltiplos de 25 que possuem 5 algarismos distintos.