Neste "O xis da questão" temos um problema que envolve uma função polinomial do 2° grau e o resolvemos solucionando um sistema de equações lineares com três variáveis.
Eis a questão:
Uma parábola passa pelos pontos (10, -25), (30, 15) e (45, -60). Qual é o ponto do vértice desta parábola?
A curva do gráfico de uma função polinomial do 2° grau forma uma parábola.
Função polinomial do 2° grau é toda função
na forma
, com
(
,
e
).
A abscissa xv do vértice da parábola é dada pela fórmula:
![](MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9)
Assim sendo iremos calcular o valor dos índices a, b e c da lei de formação da função para que possamos obter as coordenadas do vértice da parábola.
Para cada um dos três pontos iremos obter uma equação.
Para o ponto (10, -25) temos:
![](MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQtMjVccXVhZD1ccXVhZCBhXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBeMlxxdWFkK1xxdWFkIGJccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQxMDBhXHF1YWQrXHF1YWQxMGJccXVhZCtccXVhZCBjXHF1YWQ9XHF1YWQtMjU=)
Para o ponto (30, 15) temos:
![](MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQxNVxxdWFkPVxxdWFkIGFccXVhZFxjZG90XHF1YWQzMF4yXHF1YWQrXHF1YWQgYlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDMwXHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDkwMGFccXVhZCtccXVhZDMwYlxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZD1ccXVhZDE1)
Para o ponto (45, -60) temos:
![](MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQtNjBccXVhZD1ccXVhZCBhXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNDVeMlxxdWFkK1xxdWFkIGJccXVhZFxjZG90XHF1YWQ0NVxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQyMDI1YVxxdWFkK1xxdWFkNDViXHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkLTYw)
Neste ponto temos três equações lineares com três variáveis:
![](MEx.ashx?XGxlZnRcezEwMGFccXVhZCtccXVhZDEwYlxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZD1ccXVhZC0yNVxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcOTAwYVxxdWFkK1xxdWFkMzBiXHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMTVcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXDIwMjVhXHF1YWQrXHF1YWQ0NWJccXVhZCtccXVhZCBjXHF1YWQ9XHF1YWQtNjA=)
Para solucioná-lo vamos isolar a variável c da primeira equação e substituí-lo nas outras duas equações:
![](MEx.ashx?MTAwYVxxdWFkK1xxdWFkMTBiXHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkLTI1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGNccXVhZD1ccXVhZC0xMDBhXHF1YWQtXHF1YWQxMGJccXVhZC1ccXVhZDI1)
Ao substituir c na segunda equação temos:
![](MEx.ashx?OTAwYVxxdWFkK1xxdWFkMzBiXHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkMTVccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQ5MDBhXHF1YWQrXHF1YWQzMGJccXVhZCtccXVhZCgtMTAwYVxxdWFkLVxxdWFkMTBiXHF1YWQtXHF1YWQyNSlccXVhZD1ccXVhZDE1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkODAwYVxxdWFkK1xxdWFkMjBiXHF1YWQ9XHF1YWQ0MA==)
E ao substituí-lo na terceira:
![](MEx.ashx?MjAyNWFccXVhZCtccXVhZDQ1YlxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZD1ccXVhZC02MFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDIwMjVhXHF1YWQrXHF1YWQ0NWJccXVhZCtccXVhZCgtMTAwYVxxdWFkLVxxdWFkMTBiXHF1YWQtXHF1YWQyNSlccXVhZD1ccXVhZC02MFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDE5MjVhXHF1YWQrXHF1YWQzNWJccXVhZD1ccXVhZC0zNQ==)
Agora temos um sistema de equações lineares com duas variáveis e duas equações:
![](MEx.ashx?XGxlZnRcezgwMGFccXVhZCtccXVhZDIwYlxxdWFkPVxxdWFkNDBcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXDE5MjVhXHF1YWQrXHF1YWQzNWJccXVhZD1ccXVhZC0zNQ==)
Vamos solucioná-lo isolando a incógnita b da primeira equação e realizando a substituição na segunda equação:
![](MEx.ashx?ODAwYVxxdWFkK1xxdWFkMjBiXHF1YWQ9XHF1YWQ0MFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBiXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3stODAwYVxxdWFkK1xxdWFkNDB9ezIwfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBiXHF1YWQ9XHF1YWQtNDBhXHF1YWQrXHF1YWQy)
Agora realizamos a substituição de b na outra equação para encontramos o valor de a:
![](MEx.ashx?MTkyNWFccXVhZCtccXVhZDM1YlxxdWFkPVxxdWFkLTM1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMTkyNWFccXVhZCtccXVhZDM1KC00MGFccXVhZCtccXVhZDIpXHF1YWQ9XHF1YWQtMzVccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQxOTI1YVxxdWFkLVxxdWFkMTQwMGFccXVhZCtccXVhZDcwXHF1YWQ9XHF1YWQtMzVccXVhZFxSaWdodGFycm93XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkNTI1YVxxdWFkPVxxdWFkLTEwNVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7MX17NX0=)
Obtemos o valor do índice b ao substituirmos o índice a pelo valor obtido acima:
![](MEx.ashx?YlxxdWFkPVxxdWFkLTQwYVxxdWFkK1xxdWFkMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBiXHF1YWQ9XHF1YWQtNDBccXVhZFxjZG90XHF1YWQtXGZyYWN7MX17NX1ccXVhZCtccXVhZDJccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYlxxdWFkPVxxdWFkMTA=)
O valor do índice c é o último a ser calculado, para isto vamos utilizar a equação obtida a partir do ponto (10, -25) pertencente à parábola:
![](MEx.ashx?MTAwYVxxdWFkK1xxdWFkMTBiXHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkLTI1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMTAwXGxlZnRcKC1cZnJhY3sxfXs1fVxyaWdodFwpXHF1YWQrXHF1YWQxMFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXHF1YWQrXHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkLTI1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkLTIwXHF1YWQrXHF1YWQxMDBccXVhZCtccXVhZCBjXHF1YWQ9XHF1YWQtMjVccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgY1xxdWFkPVxxdWFkLTEwNQ==)
Agora que os índices a, b e c são conhecidos, calculemos primeiramente xv:
![](MEx.ashx?eF92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yn17MmF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezEwfXsyKC1cZnJhY3sxfXs1fSl9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHhfdlxxdWFkPVxxdWFkMjU=)
E finalmente calculamos yv, a ordenada do vértice, a partir desta fórmula:
![](MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7XERlbHRhfXs0YX0=)
Calculemos:
![](MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7XERlbHRhfXs0YX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7Yl4yXHF1YWQtXHF1YWQ0YWN9ezRhfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCB5X3ZccXVhZD1ccXVhZC1cZnJhY3sxMF4yXHF1YWQtXHF1YWQ0XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkLVxmcmFjezF9ezV9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkLTEwNX17NFxsZWZ0XCgtXGZyYWN7MX17NX1ccmlnaHRcKX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQyMA==)
Uma outra forma de calcularmos yv seria obtermos primeiramente a regra de associação da função:
![](MEx.ashx?Zih4KVxxdWFkPVxxdWFkIGF4XjJccXVhZCtccXVhZCBieFxxdWFkK1xxdWFkIGNccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeVxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezF9ezV9IHheMlxxdWFkK1xxdWFkMTB4XHF1YWQtXHF1YWQxMDU=)
E a partir desta lei de formação e do valor da abscissa do vértice xv = 25, calcularmos a ordenada do vértice yv:
![](MEx.ashx?eV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7MX17NX0geF92XjJccXVhZCtccXVhZDEweF92XHF1YWQtXHF1YWQxMDVccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgeV92XHF1YWQ9XHF1YWQtXGZyYWN7MX17NX1ccXVhZFxjZG90XHF1YWQyNV4yXHF1YWQrXHF1YWQxMFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDI1XHF1YWQtXHF1YWQxMDVccXVhZFxSaWdodGFycm93XFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHlfdlxxdWFkPVxxdWFkLVxmcmFjezYyNX17NX1ccXVhZCtccXVhZDI1MFxxdWFkLVxxdWFkMTA1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHlfdlxxdWFkPVxxdWFkMjA=)
Embora não tenha sido solicitado nesta questão, fica o exemplo de como podemos obter a lei de formação de uma função quadrática a partir de três pontos conhecidos da sua curva.
(25, 20) é ponto do vértice desta parábola.