Neste "O xis da questão" temos um problema que envolve uma função polinomial do 2° grau e o resolvemos solucionando um sistema de equações lineares com três variáveis.
Eis a questão:
Uma parábola passa pelos pontos (10, -25), (30, 15) e (45, -60). Qual é o ponto do vértice desta parábola?
A curva do gráfico de uma função polinomial do 2° grau forma uma parábola.
Função polinomial do 2° grau é toda função na forma , com (, e ).
A abscissa xv do vértice da parábola é dada pela fórmula:
Assim sendo iremos calcular o valor dos índices a, b e c da lei de formação da função para que possamos obter as coordenadas do vértice da parábola.
Para cada um dos três pontos iremos obter uma equação.
Para o ponto (10, -25) temos:
Para o ponto (30, 15) temos:
Para o ponto (45, -60) temos:
Neste ponto temos três equações lineares com três variáveis:
Para solucioná-lo vamos isolar a variável c da primeira equação e substituí-lo nas outras duas equações:
Ao substituir c na segunda equação temos:
E ao substituí-lo na terceira:
Agora temos um sistema de equações lineares com duas variáveis e duas equações:
Vamos solucioná-lo isolando a incógnita b da primeira equação e realizando a substituição na segunda equação:
Agora realizamos a substituição de b na outra equação para encontramos o valor de a:
Obtemos o valor do índice b ao substituirmos o índice a pelo valor obtido acima:
O valor do índice c é o último a ser calculado, para isto vamos utilizar a equação obtida a partir do ponto (10, -25) pertencente à parábola:
Agora que os índices a, b e c são conhecidos, calculemos primeiramente xv:
E finalmente calculamos yv, a ordenada do vértice, a partir desta fórmula:
Calculemos:
Uma outra forma de calcularmos yv seria obtermos primeiramente a regra de associação da função:
E a partir desta lei de formação e do valor da abscissa do vértice xv = 25, calcularmos a ordenada do vértice yv:
Embora não tenha sido solicitado nesta questão, fica o exemplo de como podemos obter a lei de formação de uma função quadrática a partir de três pontos conhecidos da sua curva.
(25, 20) é ponto do vértice desta parábola.