Neste "O xis da questão" temos o seguinte problema sobre progressão aritmética:
Uma P.A. finita contém um número par de termos. A soma dos dois primeiros termos é igual ao dobro do número de termos. O terceiro termo é igual a 14 e o último igual a 34. Quantos termos esta progressão aritmética tem?
Segundo o enunciado temos as seguintes informações:
Com estas informações temos como obter o valor do primeiro termo a1 e da razão r da progressão aritmética, assim como o seu número de termos n.
Para isto vamos começar escrevendo as expressões acima em função do termo a1.
Para atingirmos este objetivo vamos recorrer à fórmula do termo geral de uma P.A.:
Reescrevendo as expressões temos:
Agora que temos as três expressões escritas em função de a1:
Vamos tomar as duas primeiras equações:
Começamos a solucionar o sistema isolando o termo r da primeira equação:
O próximo passo é substituí-lo na segunda equação:
Agora que expressamos a1 em função de n, vamos fazer o mesmo com r:
Podemos então substituir a1 e r na terceira equação, aquela que havíamos deixado de lado:
Basta solucionarmos esta equação para encontrarmos o número de termos da P.A.:
Para solucioná-la, como todos os termos da equação são divisíveis por -4, vamos dividi-la por este número:
Agora vamos recorrer às relações de Albert Girard.
Quais são os dois números cuja soma é igual a 17 e cujo produto é igual 72?
Obviamente são os números 8 e 9.
No entanto, visto que o enunciado diz que a P.A. possui um número par de termos, então ela só pode conter 8 termos, já que 9 é ímpar.
Apenas para que você possa analisá-la, abaixo temos a P.A. em questão:
P.A. ( 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34 )
Repare que:
Esta progressão aritmética tem 8 termos.
