Cálculo da Área de um Polígono Regular
Neste artigo vemos como calcular a área de um polígono regular a partir do seu número de lados e da medida dos mesmos.
Uma linha poligonal fechada é formada por segmentos de reta não alinhados em uma mesma reta e que se fecham.
Polígono é uma figura plana formada por uma linha poligonal fechada.
Polígonos regulares são aqueles que possuem todos os seus lados e ângulos internos congruentes.![](img200/0280a.gif)
O número de ângulos internos de um polígono é igual ao número de lados do mesmo.
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, tal qual o quadrado na figura ao lado.
Qualquer polígono regular inscrito em uma circunferência pode ser divido em n triângulos congruentes, onde n é o número de lados do polígono. Neste nosso exemplo n = 4, visto que o polígono regular em questão é um quadrado.
A medida do ângulo α pode ser obtida através da seguinte fórmula:
![](MEx.ashx?XGFscGhhXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3szNjBee1xjaXJjfX17bn0=)
Neste nosso exemplo como n = 4, temos que α = 90°:
![](MEx.ashx?XGFscGhhXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3szNjBee1xjaXJjfX17bn1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWRcYWxwaGFccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezM2MF57XGNpcmN9fXs0fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxhbHBoYVxxdWFkPVxxdWFkOTBee1xjaXJjfQ==)
Para obtermos a área deste polígono basta calcularmos a área de um destes triângulos e multiplicá-la por 4, visto que os quatro triângulos são congruentes. No caso de uma figura com n lados iremos multiplicar a área do triângulo por n.
A área de um triângulo é obtida multiplicando-se a medida da sua altura pela medida da sua base e dividindo-se este produto por dois.
A altura do triângulo em questão é um apótema do polígono e a base do triângulo é um lado do polígono.
Denominamos apótema o segmento de reta que interliga perpendicularmente o centro geométrico de um polígono a um dos seus lados. Neste caso o segmento a.
Recorrendo à trigonometria, mais especificamente à lei dos cossenos, vamos escrever uma equação para calcularmos o valor do lado l em função dos lados r e do ângulo α.
A lei dos cossenos nos diz que:
![](MEx.ashx?YV4yXHF1YWQ9XHF1YWQgYl4yXHF1YWQrXHF1YWQgY14yXHF1YWQtXHF1YWQyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY1xxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3MoXGhhdHtBfSk=)
Onde a, b e c são os lados de um triângulo. O ângulo  é o ângulo oposto ao lado a.
Substituindo as variáveis em questão:
![](MEx.ashx?bF4yXHF1YWQ9XHF1YWQgcl4yXHF1YWQrXHF1YWQgcl4yXHF1YWQtXHF1YWQyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIHJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgclxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3NcbGVmdFwoXGZyYWN7MzYwXntcY2lyY319e259XClccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgbF4yXHF1YWQ9XHF1YWQycl4yXHF1YWQtXHF1YWQycl4yXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGNvc1xsZWZ0XChcZnJhY3szNjBee1xjaXJjfX17bn1cKVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3c=)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBsXjJccXVhZD1ccXVhZDJyXjJccXVhZCgxXHF1YWQtXHF1YWQgY29zXGxlZnRcKFxmcmFjezM2MF57XGNpcmN9fXtufVwpKVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBsXjJccXVhZD1ccXVhZDJyXjJccXVhZCgyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkXGZyYWN7MVxxdWFkLVxxdWFkIGNvc1xsZWZ0XChcZnJhY3szNjBee1xjaXJjfX17bn1cKX17Mn0pXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGxeMlxxdWFkPVxxdWFkMnJeMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDJzZW5eMlxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBee1xjaXJjfX17bn1ccmlnaHRcKVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3c=)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxzcXJ0e2xeMn1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0ezJyXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQyc2VuXjJcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXntcY2lyY319e259XHJpZ2h0XCl9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGxccXVhZD1ccXVhZDJyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIHNlblxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBee1xjaXJjfX17bn1ccmlnaHRcKQ==)
Agora recorrendo ao Teorema de Pitágoras e novamente à trigonometria, vamos escrever o apótema a em função de um lado r e de metade do lado l:
![](MEx.ashx?cl4yXHF1YWQ9XHF1YWQgYV4yXHF1YWQrXHF1YWRcbGVmdFwoXHF1YWRcZnJhY3tsfXsyfVxxdWFkXHJpZ2h0XCleMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXjJccXVhZD1ccXVhZCByXjJccXVhZC1ccXVhZFxsZWZ0XChccXVhZFxmcmFje2x9ezJ9XHF1YWRccmlnaHRcKV4yXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFeMlxxdWFkPVxxdWFkIHJeMlxxdWFkLVxxdWFkXGxlZnRcKFxmcmFjezJyXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIHNlblxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBeXGNpcmN9e259XHJpZ2h0XCl9ezJ9XHJpZ2h0XCleMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3c=)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBhXjJccXVhZD1ccXVhZCByXjJccXVhZC1ccXVhZCByXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgc2VuXjJcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXtufVxyaWdodFwpXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFeMlxxdWFkPVxxdWFkIHJeMlxsZWZ0XCgxXHF1YWQtXHF1YWQgc2VuXjJcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXtufVxyaWdodFwpXHJpZ2h0XClccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYV4yXHF1YWQ9XHF1YWQgcl4yXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGNvc14yXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF5cY2lyY317bn1ccmlnaHRcKVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3c=)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZFxzcXJ0e2FeMn1ccXVhZD1ccXVhZFxzcXJ0e3JeMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3NeMlxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBeXGNpcmN9e259XHJpZ2h0XCl9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIGFccXVhZD1ccXVhZCByXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGNvc1whXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF5cY2lyY317bn1ccmlnaHRcKQ==)
Isolando o raio r nas duas equações temos:
![](MEx.ashx?bFxxdWFkPVxxdWFkMnJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgc2VuXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF57XGNpcmN9fXtufVxyaWdodFwpXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHJccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje2x9ezJzZW5cbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXntcY2lyY319e259XHJpZ2h0XCl9)
E
![](MEx.ashx?YVxxdWFkPVxxdWFkIHJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY29zXCFcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXtufVxyaWdodFwpXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIHJccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje2F9e2Nvc1whXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF5cY2lyY317bn1ccmlnaHRcKX0=)
Logo, o apótema a escrito em função do lado l e do ângulo α é igual a:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7bH17MnNlblxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBee1xjaXJjfX17bn1ccmlnaHRcKX1ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje2F9e2Nvc1whXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF5cY2lyY317bn1ccmlnaHRcKX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgYVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7bFxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3NcIVxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBeXGNpcmN9e259XHJpZ2h0XCl9ezJzZW5cbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXntcY2lyY319e259XHJpZ2h0XCl9)
Agora já podemos calcular a área do referido triângulo:
![](MEx.ashx?U190XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tiXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGh9ezJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNfdFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7bFxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxmcmFje2xccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY29zXCFcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXtufVxyaWdodFwpfXsyc2VuXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF57XGNpcmN9fXtufVxyaWdodFwpfX17Mn1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgU190XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tcZnJhY3tsXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY29zXCFcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXtufVxyaWdodFwpfXsyc2VuXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF57XGNpcmN9fXtufVxyaWdodFwpfX17Mn1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgU190XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3tsXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY29zXCFcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXtufVxyaWdodFwpfXsyc2VuXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF57XGNpcmN9fXtufVxyaWdodFwpfVxxdWFkXGNkb3RccXVhZFxmcmFjezF9ezJ9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvdw==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBTX3RccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje2xeMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3NcIVxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBeXGNpcmN9e259XHJpZ2h0XCl9ezRzZW5cbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXntcY2lyY319e259XHJpZ2h0XCl9)
A fórmula acima se refere à área de apenas um dos triângulos, mas como o polígono regular possui n lados devemos multiplicar esta área por n para obtermos a área total do polígono:
![](MEx.ashx?U1xxdWFkPVxxdWFkIG5ccXVhZFxjZG90XHF1YWQgU190XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje25sXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY29zXCFcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXtufVxyaWdodFwpfXs0c2VuXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF57XGNpcmN9fXtufVxyaWdodFwpfQ==)
A razão entre o cosseno e o seno de um ângulo pode ser expressa como a cotangente deste ângulo:
![](MEx.ashx?Y290KFxhbHBoYSlccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje2NvcyhcYWxwaGEpfXtzZW4oXGFscGhhKX0=)
O que nos permite reescrever a fórmula desta forma:
![](MEx.ashx?U1xxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7bmxeMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3NcIVxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBeXGNpcmN9e259XHJpZ2h0XCl9ezRzZW5cbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXntcY2lyY319e259XHJpZ2h0XCl9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZD1ccXVhZFxmcmFje25sXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY290XCFcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXtufVxyaWdodFwpfXs0fQ==)
Exemplo de Cálculo da Área do Quadrado
Vamos supor que os lados de um quadrado medem 10 cm cada um.
Os dados do problema são:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBsXHF1YWQ9XHF1YWQxMFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFxccXVhZFxcIG5ccXVhZD1ccXVhZDQ=)
Substituindo tais dados na fórmula temos:
![](MEx.ashx?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)
A área do quadrado é igual a 100 cm2 como já era de se esperar, pois como sabemos a área de um quadrado é obtida elevando-se ao quadrado a medida de um dos seus lados:
![](MEx.ashx?U1xxdWFkPVxxdWFkIGxeMlxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBTXHF1YWQ9XHF1YWQxMF4yXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZD1ccXVhZDEwMA==)
Se tivéssemos utilizado a fórmula da cotangente teríamos chegado ao mesmo resultado:
![](MEx.ashx?U1xxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7bmxeMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3RcIVxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBeXGNpcmN9e259XHJpZ2h0XCl9ezR9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezRccXVhZFxjZG90XHF1YWQxMF4yXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGNvdFwhXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF5cY2lyY317NH1ccmlnaHRcKX17NH1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgU1xxdWFkPVxxdWFkMTAwXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGNvdCg0NV5cY2lyYylccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgU1xxdWFkPVxxdWFkMTAwXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBTXHF1YWQ9XHF1YWQxMDA=)
Exemplo de Cálculo da Área do Pentágono Regular
Através da equação mostrada você pode criar uma fórmula para calcular a área de qualquer polígono regular.
Vamos criar uma fórmula para o pentágono regular.
O pentágono é um polígono com cinco lados:
![](MEx.ashx?U1xxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7bmxeMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3RcIVxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBeXGNpcmN9e259XHJpZ2h0XCl9ezR9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezVsXjJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY290XCFcbGVmdFwoXGZyYWN7MTgwXlxjaXJjfXs1fVxyaWdodFwpfXs0fVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBTXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s1bF4yfXs0fVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3QoMzZeXGNpcmMp)
Com o auxílio de uma calculadora ou de uma tabela trigonométrica, vamos calcular através desta fórmula a área de um pentágono regular cujos lados medem 8 cm:
![](MEx.ashx?U1xxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7NWxeMn17NH1ccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY290KDM2XlxjaXJjKVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBTXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s1XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkOF4yfXs0fVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3QoMzZeXGNpcmMpXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZFxhcHByb3hccXVhZFxmcmFjezVccXVhZFxjZG90XHF1YWQ2NH17NH1ccXVhZFxjZG90XHF1YWQxLDM3NjM4XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZFxhcHByb3hccXVhZDExMCwxMQ==)
Portanto, a área deste pentágono regular é de aproximadamente 110,11 cm2.
Exemplo de Cálculo da Área do Hexágono Regular
Neste último exemplo vamos criar uma fórmula para o hexágono regular.
O hexágono é um polígono com seis lados:
![](MEx.ashx?U1xxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7bmxeMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3RcIVxsZWZ0XChcZnJhY3sxODBeXGNpcmN9e259XHJpZ2h0XCl9ezR9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezZsXjJ9ezR9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIGNvdFwhXGxlZnRcKFxmcmFjezE4MF5cY2lyY317Nn1ccmlnaHRcKVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBTXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3szbF4yfXsyfVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3QoMzBeXGNpcmMp)
Finalizando este exemplo vamos calcular através desta fórmula a área de um hexágono com lados medindo 6 cm:
![](MEx.ashx?XHF1YWQgU1xxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7M2xeMn17Mn1ccXVhZFxjZG90XHF1YWQgY290KDMwXlxjaXJjKVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBTXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3szXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNl4yfXsyfVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBjb3QoMzBeXGNpcmMpXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZFxhcHByb3hccXVhZFxmcmFjezNccXVhZFxjZG90XHF1YWQzNn17Mn1ccXVhZFxjZG90XHF1YWQxLDczMjA1XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIFNccXVhZFxhcHByb3hccXVhZDkzLDUz)
A área deste hexágono regular é de aproximadamente 93,53 cm2.
![](images/h700.gif)