Dois capitais distintos aplicados a taxas também distintas, podem produzir um mesmo montante ao final de um determinado período. Neste "O xis da questão" apresentamos um problema desta natureza:
No regime de capitalização simples um capital de R$ 17.828,52 aplicado a uma taxa de 14,4% a.a. produzirá um montante igual a um capital de R$ 17.000,00 aplicado a uma taxa de 5,4% a.t. em quantos meses?
Conforme o enunciado para uma das aplicações temos as seguintes informações:
No regime de capitalização simples taxas equivalentes são proporcionais, produzindo o mesmo montante quando aplicadas a um mesmo capital e período. Assim a taxa de 14,4% a.a. é equivalente à taxa de 1,2% a.m., visto que se aplicarmos um capital à taxa de 14,4% a.a. por 1 ano, iremos obter o mesmo montante que se o aplicarmos à taxa de 1,2% a.m. por 12 meses. Note que 1 ano é equivalente a 12 meses.
Observe que a taxa foi convertida de a.a. para a.m., pois a resposta do problema deve ser dada em meses, não em anos.
De maneira análoga, de acordo com o enunciado da questão, para a segunda aplicação temos estes outros dados:
No estudo da matemática financeira vimos que no regime de capitalização simples o montante pode ser obtido através desta fórmula:
Onde M, C e j se refere respectivamente ao montante, ao capital e aos juros do período.
Vimos também que os juros do período podem ser obtidos através desta outra fórmula:
Onde i é a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração dos juros do período e n é o período de tempo de aplicação do capital, ambos na mesma unidade de tempo.
Aglutinando as duas fórmulas acima chegamos a uma outra fórmula:
Através de fórmula realizamos assim o cálculo do montante M1:
E desta forma o cálculo do montante M2:
Como os montantes devem ser iguais, temos que M1 = M2, logo:
Resta-nos desenvolver os cálculos para encontramos o valor numérico de n:
828,52 dividido por 92,06 resulta em aproximadamente 8,99978, que iremos arredondar para 9 meses, haja vista que já na primeira passagem algumas casas decimais foram desprezadas, o que contribuiu para a necessidade de realizarmos este arredondamento.
Ambos os capitais aplicados à sua respectiva taxa, produzirão o mesmo montante em 9 meses.
