Dois capitais distintos aplicados a taxas também distintas, podem produzir um mesmo montante ao final de um determinado período. Neste "O xis da questão" apresentamos um problema desta natureza:
No regime de capitalização simples um capital de R$ 17.828,52 aplicado a uma taxa de 14,4% a.a. produzirá um montante igual a um capital de R$ 17.000,00 aplicado a uma taxa de 5,4% a.t. em quantos meses?
Conforme o enunciado para uma das aplicações temos as seguintes informações:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBDXzFccXVhZD1ccXVhZCBSJFxxdWFkMTcuODI4LDUyXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgaV8xXHF1YWQ9XHF1YWQxNCw0JVxxdWFkIGEuYS5ccXVhZFxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MTQsNCVccXVhZCBhLmEufXsxMlxxdWFkIG1lc2VzL2Fub31ccXVhZD1ccXVhZDEsMiVccXVhZCBhLm0uXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3sxLDJ9ezEwMH1ccXVhZCBhLm0uXHF1YWQ9XHF1YWQwLDAxMlxxdWFkIGEubS4=)
No regime de capitalização simples taxas equivalentes são proporcionais, produzindo o mesmo montante quando aplicadas a um mesmo capital e período. Assim a taxa de 14,4% a.a. é equivalente à taxa de 1,2% a.m., visto que se aplicarmos um capital à taxa de 14,4% a.a. por 1 ano, iremos obter o mesmo montante que se o aplicarmos à taxa de 1,2% a.m. por 12 meses. Note que 1 ano é equivalente a 12 meses.
Observe que a taxa foi convertida de a.a. para a.m., pois a resposta do problema deve ser dada em meses, não em anos.
De maneira análoga, de acordo com o enunciado da questão, para a segunda aplicação temos estes outros dados:
![](MEx.ashx?XGxlZnRceyBDXzJccXVhZD1ccXVhZCBSJFxxdWFkMTcuMDAwLDAwXFxccXVhZFxcXHF1YWRcXFxxdWFkXFwgaV8yXHF1YWQ9XHF1YWQ1LDQlXHF1YWQgYS50LlxxdWFkXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s1LDQlXHF1YWQgYS50Ln17M1xxdWFkIG1lc2VzL3RyaW1lc3RyZX1ccXVhZD1ccXVhZDEsOCVccXVhZCBhLm0uXHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3sxLDh9ezEwMH1ccXVhZCBhLm0uXHF1YWQ9XHF1YWQwLDAxOFxxdWFkIGEubS4=)
No estudo da matemática financeira vimos que no regime de capitalização simples o montante pode ser obtido através desta fórmula:
![](MEx.ashx?TVxxdWFkPVxxdWFkIENccXVhZCtccXVhZCBq)
Onde M, C e j se refere respectivamente ao montante, ao capital e aos juros do período.
Vimos também que os juros do período podem ser obtidos através desta outra fórmula:
![](MEx.ashx?alxxdWFkPVxxdWFkIENccXVhZFxjZG90XHF1YWQgaVxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBu)
Onde i é a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração dos juros do período e n é o período de tempo de aplicação do capital, ambos na mesma unidade de tempo.
Aglutinando as duas fórmulas acima chegamos a uma outra fórmula:
![](MEx.ashx?TVxxdWFkPVxxdWFkIENccXVhZCtccXVhZCBqXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIE1ccXVhZD1ccXVhZCBDXHF1YWQrXHF1YWQgQ1xxdWFkXGNkb3RccXVhZCBpXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIG5ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgTVxxdWFkPVxxdWFkIEMoMVxxdWFkK1xxdWFkIGlccXVhZFxjZG90XHF1YWQgbik=)
Através de fórmula realizamos assim o cálculo do montante M1:
![](MEx.ashx?TV8xXHF1YWQ9XHF1YWQgQ18xKDFccXVhZCtccXVhZCBpXzFccXVhZFxjZG90XHF1YWQgbilccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgTV8xXHF1YWQ9XHF1YWQxNzgyOCw1MigxXHF1YWQrXHF1YWQwLDAxMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBuKQ==)
E desta forma o cálculo do montante M2:
![](MEx.ashx?TV8yXHF1YWQ9XHF1YWQgQ18yKDFccXVhZCtccXVhZCBpXzJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgbilccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgTV8yXHF1YWQ9XHF1YWQxNzAwMCwwMCgxXHF1YWQrXHF1YWQwLDAxOFxxdWFkXGNkb3RccXVhZCBuKQ==)
Como os montantes devem ser iguais, temos que M1 = M2, logo:
![](MEx.ashx?MTc4MjgsNTIoMVxxdWFkK1xxdWFkMCwwMTJccXVhZFxjZG90XHF1YWQgbilccXVhZD1ccXVhZDE3MDAwLDAwKDFccXVhZCtccXVhZDAsMDE4XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIG4p)
Resta-nos desenvolver os cálculos para encontramos o valor numérico de n:
![](MEx.ashx?MTc4MjgsNTIoMVxxdWFkK1xxdWFkMCwwMTIgbilccXVhZD1ccXVhZDE3MDAwLDAwKDFccXVhZCtccXVhZDAsMDE4IG4pXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkMTc4MjgsNTJccXVhZCtccXVhZDIxMyw5NG5ccXVhZD1ccXVhZDE3MDAwLDAwXHF1YWQrXHF1YWQzMDYsMDBuXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvdw==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDMwNiwwMG5ccXVhZC1ccXVhZDIxMyw5NG5ccXVhZD1ccXVhZDE3ODI4LDUyXHF1YWQtXHF1YWQxNzAwMCwwMFxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZDkyLDA2blxxdWFkPVxxdWFkODI4LDUyXHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIG5ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezgyOCw1Mn17OTIsMDZ9)
828,52 dividido por 92,06 resulta em aproximadamente 8,99978, que iremos arredondar para 9 meses, haja vista que já na primeira passagem algumas casas decimais foram desprezadas, o que contribuiu para a necessidade de realizarmos este arredondamento.
Ambos os capitais aplicados à sua respectiva taxa, produzirão o mesmo montante em 9 meses.