Um determinado jogo contém sessenta números inteiros distintos que variam de 1 a 60. A cada concurso são sorteados 6 destes números. Em cada aposta você pode escolher de 6 a 15 números distintos. Se você fizer uma aposta com 11 números, qual a probabilidade de acertar 4 dos 6 números que serão sorteados?
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Na resolução deste problema iremos recorrer várias vezes à fórmula de cálculo da combinação simples que já estudamos no artigo Análise Combinatória - Combinação Simples:
![](MEx.ashx?Q3tfe25fLFxxdWFkIHB9fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7biF9e3AhKG5ccXVhZC1ccXVhZCBwKSF9)
Em caso de dúvidas consulte o referido artigo para maiores informações.
Segundo o enunciado temos que acertar 4 dentre os 11 números escolhidos, o que resulta em 330 combinações possíveis:
![](MEx.ashx?Q3tfezExXyxccXVhZDR9fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MTEhfXs0ISgxMVxxdWFkLVxxdWFkNCkhfVxxcXVhZFxSaWdodFxxcXVhZCBDe197MTFfLFxxdWFkNH19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3sxMSF9ezQhNyF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxdWFkIEN7X3sxMV8sXHF1YWQ0fX1ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezExXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMTBccXVhZFxjZG90XHF1YWQ5XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkOFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDchfXs0ITchfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3c=)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBDe197MTFfLFxxdWFkNH19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3sxMVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDEwXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkOVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDh9ezRccXVhZFxjZG90XHF1YWQzXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDF9XHFxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgQ3tfezExXyxccXVhZDR9fVxxdWFkPVxxdWFkMzMw)
Como são sorteados 6 números em cada sorteio e foi realizada um aposta com 11 números, destes onze 4 são acertos, logo há mais 2 números errados dentre os 49 números restantes, o que totaliza 1.176 combinações distintas:
![](MEx.ashx?Q3tfezQ5XyxccXVhZDJ9fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7NDkhfXsyISg0OVxxdWFkLVxxdWFkMikhfVxxcXVhZFxSaWdodFxxcXVhZCBDe197NDlfLFxxdWFkMn19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s0OSF9ezIhNDchfVxxcXVhZFxSaWdodFxxcXVhZCBDe197NDlfLFxxdWFkMn19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s0OVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDQ4XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNDchfXsyITQ3IX1ccXVhZFxSaWdodGFycm93XHF1YWQgQ3tfezQ5XyxccXVhZDJ9fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7NDlccXVhZFxjZG90XHF1YWQ0OH17MlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvdw==)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXVhZCBDe197NDlfLFxxdWFkMn19XHF1YWQ9XHF1YWQxMTc2)
Portanto temos um total de 388.080 combinações possíveis, onde dos 11 números escolhidos acertamos 4 e erramos 2:
![](MEx.ashx?Q3tfezExXyxccXVhZDR9XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIEN7X3s0OV8sXHF1YWQyfX1ccXVhZD1ccXVhZDMzMFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDExNzZccXVhZD1ccXVhZDM4ODA4MA==)
Para podermos obter a probabilidade solicitada, precisamos primeiramente calcular a combinação simples de 60 números combinados 6 a 6:
![](MEx.ashx?Q3tfezYwXyxccXVhZDZ9fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7NjAhfXs2ISg2MFxxdWFkLVxxdWFkNikhfVxxcXVhZFxSaWdodFxxcXVhZCBDe197NjBfLFxxdWFkNn19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s2MCF9ezYhNTQhfVxxcXVhZFxSaWdodFxxcXVhZCBDe197NjBfLFxxdWFkNn19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3s2MFxxdWFkXGNkb3RccXVhZDU5XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNThccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1N1xxdWFkXGNkb3RccXVhZDU2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNTVccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1NCF9ezYhNTQhfVxxdWFkXFJpZ2h0YXJyb3c=)
![](MEx.ashx?XFJpZ2h0YXJyb3dccXF1YWQgQ3tfezYwXyxccXVhZDZ9fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7NjBccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1OVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDU4XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNTdccXVhZFxjZG90XHF1YWQ1NlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDU1fXs2XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkNVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDRccXVhZFxjZG90XHF1YWQzXHF1YWRcY2RvdFxxdWFkMlxxdWFkXGNkb3RccXVhZDF9XHF1YWRcUmlnaHRhcnJvd1xxcXVhZCBDe197NjBfLFxxdWFkNn19XHF1YWQ9XHF1YWQ1MDA2Mzg2MA==)
Logo, há 50.063.860 resultados possíveis ao se sortear 6 números dentre os 60.
Agora já temos como calcular a probabilidade de acertar 4 dos 6 números que serão sorteados:
Como é possível se obter 50.063.860 resultados distintos ao se sortear 6 números dentre 60 disponíveis, a probabilidade de acertar 4 dos 6 números que serão sorteados é de 252 chances em 32509, ou aproximadamente 1 chance em 129:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7Mzg4MDgwfXs1MDA2Mzg2MH1ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezI1Mn17MzI1MDl9XHF1YWRcYXBwcm94XHF1YWRcZnJhY3sxfXsxMjl9)
Note que foi preciso calcular C49, 2, pois serão acertados apenas quatro números dos seis a sortear. Se fossem acertados todos os seis, o cálculo se resumiria a:
![](MEx.ashx?XHF1YWQgQ3tfezExXyxccXVhZDZ9fVxxdWFkXGRpdlxxdWFkIEN7X3s2MF8sXHF1YWQ2fX1ccXVhZD1ccXVhZFxmcmFjezQ2Mn17NTAwNjM4NjB9XHF1YWQ9XHF1YWRccXVhZFxmcmFjezN9ezMyNTA5MH0=)
3/325090 equivale a aproximadamente uma chance em 108.363:
![](MEx.ashx?MzI1MDkwXHF1YWRcZGl2XHF1YWQzXHF1YWQ9XHF1YWQxMDgzNjMsXG92ZXJsaW5lezN9)
Vejamos um outro exemplo:
Um determinado jogo contém oitenta números inteiros distintos que variam de 1 a 80. A cada concurso são sorteados 5 destes números. Em cada aposta você pode escolher de 5 a 7 números distintos. Se você fizer uma aposta com 7 números, qual a probabilidade de acertar 3 dos 5 números que serão sorteados?
Para facilitar os cálculos vamos utilizar esta fórmula:
![](MEx.ashx?XGZzM1xmcmFje0N7X3tlXyxccXVhZCBhfX1ccXVhZFxjZG90XHF1YWQgQ3tfe24tZV8sXHF1YWQgcy0gYX19fXtDe197bl8sXHF1YWQgc319fVx0ZXh0eywgcGFyYX1ccXVhZCBhXHF1YWRcbm90PVxxdWFkIHM=)
Onde:
e = 7, a quantidade de números escolhidos;
a = 3, a quantidade de acertos;
n = 80, o total de números e
s = 5, a quantidade de números sorteados.
Substituindo todos estes dados na fórmula:
![](MEx.ashx?XGZyYWN7Q3tfezdfLFxxdWFkM319XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIEN7X3s4MC03XyxccXVhZDUtM319fXtDe197ODBfLFxxdWFkNX19fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7Q3tfezdfLFxxdWFkM319XHF1YWRcY2RvdFxxdWFkIEN7X3s3M18sXHF1YWQyfX19e0N7X3s4MF8sXHF1YWQ1fX19XHF1YWQ9XHF1YWRcZnJhY3szNVxxdWFkXGNkb3RccXVhZDI2Mjh9ezI0MDQwMDE2fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7OTE5ODB9ezI0MDQwMDE2fVxxdWFkPVxxdWFkXGZyYWN7MjI5OTV9ezYwMTAwMDR9)
22995/6010004 equivale a aproximadamente uma chance em 261:
![](MEx.ashx?NjAxMDAwNFxxdWFkXGRpdlxxdWFkMjI5OTVccXVhZFxxdWFkXGFwcHJveFxxdWFkXHF1YWQyNjE=)
A fórmula mostrada acima pode ser utilizada quando nem todos os números sorteados foram acertados (a ≠ s). Quando acerta-se todos os números sorteados deve-se utilizar esta outra fórmula:
![](MEx.ashx?XGZzM1xmcmFje0N7X3tlXyxccXVhZCBzfX19e0N7X3tuXyxccXVhZCBzfX19)
Voltando ao problema original, sua resposta é:
A probabilidade de acertar 4 dos 6 números que serão sorteados é 252/32509 ou aproximadamente 1/129.