Resolução Passo a Passo de Questões de Concursos Públicos - IV
1) Uma garota sobe, a uma velocidade de 1 degrau por segundo, os degraus de uma escada rolante, que está em movimento ascendente e, quando alcança o topo, ela contou que pisou em 20 degraus. Mais tarde, ela sobe a mesma escada rolante a uma velocidade de 2 degraus por segundo e atinge o topo depois de contar 32 degraus. Se estivesse parada, qual seria o número de degraus visíveis nessa escada?
Embora à primeira vista não pareça tão simples assim para a maioria dos estudantes, podemos resolver esta questão montando uma simples equação o primeiro grau com uma incógnita mas qual é esta incógnita?
Quais são as grandezas envolvidas no problema?
O trecho "a uma velocidade de 1 degrau por segundo" não nos deixa a menor dúvida. Velocidade e tempo são óbvias, mas não é tão óbvio que degrau pode ser tomado como uma medida de comprimento.
Nas duas vezes em que foram realizadas as contagens, a velocidade da escada era a mesma, pois ela possuiu uma velocidade constante. Sabemos que a velocidade é a razão do espaço percorrido para o tempo gasto no percurso.
Atribuindo as variáveis velocidade, espaço e tempo as letras v, s e t respectivamente, podemos montar a seguinte equação:
Agora vamos pensar um pouco.
A uma velocidade de 1 degrau por segundo a garota contou 20 degraus. Não é difícil de perceber que o tempo gasto foi de 20 seg. Ora, então a uma certa velocidade v a escada percorreu um certo número de degraus sozinha, também em 20 s.
Na fórmula da velocidade podemos isolar a variável referente ao espaço:
Pois bem, se a escada percorreu uma certa distância a uma velocidade constante v em 20 seg, podemos representar esta distância assim:
Então podemos dizer que o número de degraus percorridos na primeira contagem foi:
Ou seja, os 20 degraus percorridos pela garota, mais os 20v degraus que a escada percorreu sozinha neste meio tempo.
Vamos aplicar este mesmo raciocínio para a segunda contagem.
Na segunda contagem como a garota subiu a uma velocidade de 2 degraus por segundo, então ela contou 32 degraus em apenas 16 seg, pois a cada segundo ela contava 2 degraus.
Logo o número de degraus percorridos na segunda contagem pode ser expresso por:
Como o número de degraus na mesma contagem é o mesmo, podemos escrever a seguinte equação:
Que solucionando temos:
Substituindo o valor de v na expressão da primeira contagem:
Obteríamos a mesma contagem se utilizássemos a segunda expressão:
Portanto:
Se estivesse parada, 80 seria o número de degraus visíveis na escada.
2) Um objeto foi lançado obliquamente e sua trajetória descreveu uma parábola de equação y = -3x² + 60x. É correto afirmar que o alcance desse objeto foi de quantos metros?
A resolução deste problema consiste em calcularmos os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas, ou seja, encontrarmos as raízes da função. Conhecendo as raízes, a solução do problema será a distância entre estes dois pontos do eixo x.
Observe a parábola ao lado:
O ponto x1 representa o local de lançamento do objeto, o ponto x2 representa o local no qual o objeto caiu, portanto a distância percorrida pelo objeto é a distância de x1 a x2.
Vamos aos cálculos das raízes x1 e x2:
Para x1 temos:
Para x2 temos:
Segundo a definição de módulo de um número real temos que:
O módulo da diferença entre x1 e x2 é:
Então:
O alcance desse objeto foi de 20 m.
3) A função que representa o valor pago após um desconto de 7% sobre um valor x de uma mercadoria é...
Nesta questão a resposta será uma função de x que é o produto de x pelo fator que representa a redução de 7% conforme solicitado pelo enunciado.
Se 100% corresponde ao valor total de um produto, uma redução de 7% significa dizer que o produto passará a custar 93% do que custava antes do desconto:
93% é igual a 0,93 na forma decimal:
Este é o fator que multiplicado por x nos dará uma redução de 7% no valor original do produto, logo f(x) é:
f(x) = 0,93x.
4) Uma roda gigante com 12 m de diâmetro tem 1,57 m de distância entre os banquinhos. Qual é a capacidade máxima de pessoas, sendo que cada banco comporta 3 pessoas?
A resolução desta questão requer que tenhamos alguns conceitos sobre a circunferência, dentre eles o seu perímetro.
Para a resolução do problema vamos utilizar .
Como o diâmetro da roda gigante é de 12 m, o seu raio é de 6 m:
Portanto o seu perímetro será de 37,68 m:
Como a circunferência da roda gigante possui 37,68 m de perímetro e como cada banquinho mantém uma distância de 1,57 m um do outro, então o número de bancos será:
Como cada banco comporta até 3 pessoas, a capacidade máxima da roda gigante será:
Portanto:
A capacidade máxima desta roda gigante é de 72 pessoas.
5) Numa residência existe um garrafão de água mineral com 20 litros completos instalado num gelágua e um pacote de 100 copos descartáveis com 250 cm3 de capacidade. Se cada membro usar um copo, cheio, todas as vezes que forem beber água no gelágua, quando o garrafão secar restarão quantos copos?
Aqui precisamos saber como converter unidades de medida de capacidade em unidades de medida de volume ou o contrário, para podermos solucionar a questão.
Sabemos que 1 l equivale a 1 dm3. Sabemos também que 1 dm3 equivale a 1000 cm3, portanto os 20 l de água correspondem a 20000 cm3:
Como cada copo tem uma capacidade de 250 cm3 para consumir os 20000 cm3 serão necessários 80 copos:
Já que temos um total de 100 copos, ao término da água restarão ainda 20 copos:
Então:
Quando o garrafão secar restarão 20 copos.
6) Para que valores de k o gráfico de y = (k - 2)x2 - 3x + k é uma parábola côncava para cima?
Esta questão envolve o conhecimento sobre a variação de sinal de uma função polinomial do 2° grau.
Uma função polinomial do 2° grau, f(x) = ax2 + bx + c, terá concavidade para cima, como na figura ao lado, quando a > 0.
Segundo o enunciado temos que:
Logo y terá concavidade para cima quando:
De onde concluímos que:
Logo:
y é uma parábola côncava para cima para k > 2.
7) Um professor pediu a seus alunos que resolvessem a seguinte expressão 20% · 20% + 20% Podemos dizer que o aluno que conseguir acertar a questão terá encontrado qual resultado?
Nesta questão temos um percentual de uma porcentagem 20% · 20%, neste caso não devemos passar o segundo termo para a forma decimal. Desta forma teremos então:
Repare que 20% de 20% resulta em 4% que ainda é uma porcentagem, de forma semelhante 20% de 20 bananas resultam em 4 bananas que continuam sendo bananas.
Concluindo a adição temos:
Portanto:
Podemos dizer que o aluno que conseguir acertar a questão terá encontrado um resultado igual a 24%.
8) No regime de capitalização simples, Jonas depositou R$ 5000,00 na caderneta de poupança, que proporciona 0,5% de ganhos mensais, durante sete anos. Suponha que não haja correção monetária. É correto afirmar que, depois desse período, Jonas terá quanto em sua caderneta?
Este é um problema de matemática financeira em que é solicitado o montante da aplicação após um determinado período. A forma mais simples de solucioná-lo e calcularmos primeiro os juros do período e depois adicioná-lo ao valor principal.
Para fazê-lo, primeiramente vamos utilizar a fórmula de cálculo dos juros simples:
Nesta fórmula j são os juros que estamos procurando.
A variável C se representa o capital aplicado, ou valor principal, que segundo o enunciado é igual a R$ 5.000,00.
Já a variável i que representa a taxa de juros é igual 0,5% a.m.
Finalmente n representa o período de tempo da aplicação. Segundo o enunciado o capital ficou aplicado por 7 anos, mas como a taxa de juros está apresentada em meses, precisamos converter as duas variáveis para a mesma unidade de tempo. Arbitrariamente escolhemos converter o período para meses, logo a variável n será igual a 84 meses:
Substituindo tais valores na fórmula dos juros simples, temos:
Até aqui já sabemos que os juros do período são de R$ 2.100,00. O valor total na caderneta é igual à soma deste valor, com o capital aplicado. A esta soma damos o nome de montante, a representamos pela letra M e pela fórmula:
Substituindo os valores de C e j na fórmula do montante simples, temos:
Então:
É correto afirmar que Jonas terá R$ 7.100,00 em sua caderneta.
9) Um automóvel percorreu 35 quilômetros na primeira hora; na segunda hora percorreu 7 quilômetros a mais que na primeira; na terceira hora percorreu 7 quilômetros a mais que na segunda e assim por diante. Quantos quilômetros percorreu esse carro em 10 horas?
Em muitos dos problemas de concursos públicos o problema está em se entender o enunciado e não propriamente em realizar os cálculos necessários. Nesta questão temos nada mais que a soma dos "n" primeiros termos de uma P.A.
O fragmento de texto "um automóvel percorreu 35 quilômetros na primeira hora" corresponde ao termo a1 da nossa progressão aritmética.
Dizer que "na segunda hora percorreu 7 quilômetros a mais que na primeira", percorrendo 7 km a mais na hora atual, que na anterior, nada mais é que declarar que a razão r desta P.A. é igual a 7.
Com base nestas informações, utilizando as fórmulas apropriadas podemos chegar à resposta desejada.
Para obtermos o n-ésimo termo de uma P.A., a partir do termo a1, recorremos à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:
Como queremos saber quantos quilômetros o veículo percorreu em 10 horas, precisamos conhecer o décimo termo desta P.A., ou seja, n = 10.
Substituindo os dados conhecidos na fórmula temos:
Isto quer dizer que na décima hora ele percorreu 98 km.
Sabendo-se que n = 10, a1 = 35 e an = 98, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma P.A. para calcularmos a soma dos termos desta progressão aritmética, que nos dará a resposta do problema:
Vamos então aos cálculos:
Logo:
Em 10 horas esse carro percorreu 665km.
10) Considere dois níveis salariais apontados em uma pesquisa de mercado para um mesmo cargo, o mínimo (piso) e o máximo (teto). Sabe-se que o dobro do menor somado a 1/5 do maior é igual a R$ 3.700,00. Se a diferença entre o nível máximo e o nível mínimo é igual a R$ 3.100,00, então o teto salarial para este cargo é de quantos reais?
Nesta questão identificamos rapidamente duas variáveis, o piso e o teto salarial, além de duas equações onde tais variáveis se relacionam. Este portanto é um problema envolvendo a resolução de um sistema de equações do primeiro grau com duas variáveis.
Atribuindo ao piso a letra p e ao teto a letra t, a primeira equação é escrita como:
Segunda equação é:
A partir delas equacionamos o sistema:
Para resolvê-lo, seguindo o método da substituição, vamos isolar p da segunda equação:
E substituí-lo na primeira equação:
Portanto:
O teto salarial para este cargo é de R$ 4.500,00.