Análise Combinatória - Fatorial

Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.

Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.

5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.

Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

Abaixo, no final da página, temos uma tabela com os 28 primeiros fatoriais. Repare que apesar do número 27 ser relativamente baixo, o seu fatorial possui 29 dígitos!

Escrevendo um fatorial a partir de um outro fatorial menor

Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!:

  1. 5! = 5 . 4!
  2. 5! = 5 . 4 . 3!
  3. 5! = 5 . 4 . 3 . 2!

Para um fatorial genérico temos:

n! = n . (n - 1)!  =  n . (n - 1) . (n - 2)!  =  n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!

Observe atentamente os exemplos seguintes:

  1. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
  2. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
  3. (n + 1)! = (n + 1) . n!

Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais clara destas sentenças:

  1. 9! = 9 . 8!
  2. 9! = 9 . 8 . 7!
  3. 7! = 7 . 6!

Estes conceitos são utilizados em muitos dos problemas envolvendo fatoriais.


Simplificação envolvendo fatoriais

Observe a fração abaixo:

Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. Então podemos escrever a fração da seguinte forma:

Agora podemos simplificar o 3! do numerador com o 3! do denominador. Temos então:

Veja outros exemplos:





Gerando uma sequência de números compostos consecutivos a partir de um fatorial

Na página onde falamos sobre múltiplos de um número natural foi explicado que se a um número que é múltiplo de n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, iremos obter como resultado um número que também é múltiplo de n.

3! + 2 = 3 . 2 . 1 + 2 = 6 + 2 = 8

3! + 3 = 3 . 2 . 1 + 3 = 6 + 3 = 9

Repare que 8, resultado da soma de 6 com 2, é divisível por 2, assim como 6. O mesmo ocorrendo com 9, resultado da soma de 6 com 3, que também é divisível por 3.

Como 8 e 9 são múltiplos de algum fator de 3!, temos que eles formam uma sequência de dois números compostos (não primos) consecutivos a partir do fatorial de três.

3! possui três fatores, mas só podemos considerar os fatores maiores que 1, por isto só pudemos somar dois e três. Note neste exemplo, que se somássemos 3! + 1, iríamos obter 7, que não é um número composto. Sete é um número primo.

Exemplos de problemas envolvendo fatoriais

EnunciadoQual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)! = 20 . n! seja verdadeira?

O primeiro passo na resolução deste problema consiste em escrevermos (n + 2)! em função de n!, em busca de uma equação que não mais contenha fatoriais:

Conforme explicado na página onde tratamos sobre o cálculo rápido das raízes de equações do segundo grau, podemos resolver rapidamente esta equação respondendo à seguinte pergunta: Quais são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo produto é igual -18?

Rapidamente concluímos que as raízes procuradas são -6 e 3, mas como não existe fatorial de números negativos, já que eles não pertencem ao conjunto dos números naturais, ficamos apenas com a raiz igual a 3.

Portanto:

RespostaO valor numérico de n para que a equação seja verdadeira é igual a 3.




EnunciadoA partir de fatoriais, obtenha uma sequência com sete números compostos consecutivos.

Como eu devo obter 7 números compostos consecutivos na sequência, eu preciso partir ao menos de 8!:

8! = 8 . 7 . 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320

Como 8! é igual a 40320, o primeiro número da sequência será 40320 + 2 = 40322 e o último será 40320 + 8 = 40328.

Logo:

RespostaA sequência 40322, 40323, 40324, 40325, 40326, 40327 e 40328 satisfaz as condições do enunciado.




Tabela com os fatorais de 0 a 27

nn!
01
11
22
36
424
5120
6720
75040
840320
9362880
103628800
1139916800
12479001600
136227020800
1487178291200
151307674368000
1620922789888000
17355687428096000
186402373705728000
19121645100408832000
202432902008176640000
2151090942171709440000
221124000727777607680000
2325852016738884976640000
24620448401733239439360000
2515511210043330985984000000
26403291461126605635584000000
2710888869450418352160768000000