Equação do Segundo Grau - Calculando Facilmente suas Raízes

Na página onde foi tratado o tema Relações entre Coeficientes e Raízes em Equações do 2° Grau, foi comentado que as relações de Albert Girard, em alguns casos, nos permitem obter mentalmente as raízes de uma equação do segundo grau, mas como assim? Vamos estudar o tema, através da utilização de alguns exemplos.

Observe a seguinte equação:

x2 - 5x + 6 = 0

Agora me diga: Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?

É muito provável que mentalmente você tenha identificado rapidamente que os dois números procurados são 2 e 3, pois 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.

Mas de onde surgiu a questão "Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?"?

Segundo Girard, vimos que x2 - Sx + P = 0, onde S representa a soma das raízes da equação e P representa o produto destas raízes.

Neste nosso exemplo S está sendo representado pelo coeficiente 5, assim como P está sendo representado pelo coeficiente 6, por isto me referi a 5 como sendo a soma das raízes e a 6, como sendo o seu produto.

Para conferência, vamos aos cálculos pelo método tradicional:

Como não poderia deixar de ser, as raízes encontradas são exatamente 2 e 3.

Vamos a outros exemplos para que você tenha uma melhor compreensão do assunto e elimine qualquer possível dúvida.


Exemplos de Identificação Mental das Raízes de uma Equação do 2° grau

EnunciadoEncontre as raízes da equação do segundo grau x2 - 6x + 5 = 0.

Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 6 e cujo produto é igual 5?".

Sem qualquer esforço podemos chegar a 1 e 5. Conferindo através da fórmula temos:

RespostaPortanto 1 e 5 são as raízes da equação x2 - 6x + 5 = 0.


EnunciadoEncontre as raízes da equação do segundo grau x2 + 2x - 8 = 0.

Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a -2 e cujo produto é igual -8?".

Neste caso, com um pouquinho mais de esforço, já que há o envolvimento de números negativos, chegamos a -4 e 2, pois -4 + 2 = -2 e -4 . 2 = -8. Conferindo via fórmula:

RespostaPortanto -4 e 2 são as raízes da equação x2 + 2x - 8 = 0.


EnunciadoEncontre as raízes da equação do segundo grau 4x2 - 12x + 8 = 0.

Neste outro exemplo temos uma situação um pouco diferente. Note que nos casos anteriores, o coeficiente a era sempre igual a 1, o que simplificava a utilização deste artifício, mas neste caso ele é igual a 4.

Segundo Girard a soma das raízes é dada por:

E o produto é dado por:

Assim sendo, para S temos:

E para P temos:

Podemos então nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 3 e cujo produto é igual 2?".

Facilmente chegamos a 1 e 2, pois 1 + 2 = 3 e 1 . 2 = 2. Conferindo via fórmula:

RespostaPortanto 1 e 2 são as raízes da equação 4x2 - 12x + 8 = 0.


EnunciadoQuais as raízes da equação x2 + 4x + 12 = 0.

Para finalizar este tema, vamos resolver este último exemplo.

Veja que por mais que você se esforce em descobrir quais são os números que somados totalizam -4 e que multiplicados dão 12, jamais conseguirá encontrá-los dentre os números reais, simplesmente porque eles não existem. Sabe por quê?

Calculemos então o discriminante da equação:

Como Δ = -32, isto é, como o discriminante da equação é negativo, a mesma não possui raízes reais.

RespostaPortanto a equação x2 + 4x + 12 = 0 não possui raízes reais.


Como pudemos perceber, dependendo de nossas habilidades com os números, este é um recurso que podemos utilizar, sempre que possível, nos casos onde facilmente encontramos as raízes, só de "bater os olhos" na equação. Em outros casos é melhor procurarmos um outro método mais adequado.

Com um pouco de treino, este é um recurso que pode nos ajudar bastante na busca pelas raízes de equações do segundo grau.