Equação

Princípio da igualdade

Uma equação é uma sentença matemática formada por uma igualdade composta por expressões matemáticas contendo ao menos uma incógnita. Cada uma das expressões da igualdade contém coeficientes e incógnitas. Os coeficientes são os valores determinados. As incógnitas são os valores desconhecidos que dependendo do valor que assumam, podem tornar a equação verdadeira ou falsa.

Uma equação pode possuir inúmeros coeficientes e incógnitas.

A igualdade -8x - 4 = -2x + 14 é um exemplo de equação.

A expressão à esquerda do sinal de igualdade é chamada de primeiro membro. Já a expressão à direita do sinal de igualdade é chamada de segundo membro.

No termo -8x do primeiro membro, o número -8 é um coeficiente e a letra x é uma incógnita.

O termo 14 do segundo membro, por exemplo, é um termo constante, pois não varia em função de qualquer incógnita.

Raiz de uma equação

A igualdade 3x - 5 = x + 15 é uma equação verdadeira quando x = 10, pois neste caso ambos os lados da expressão resultarão no mesmo valor 25, já que 3 . 10 - 5 = 10 + 15, ou seja, 25 = 25. Neste exemplo o número 10 é a raiz ou solução da equação, pois ao substituir a incógnita torna a equação verdadeira.

Conjunto Universo

O conjunto universo contém todos valores possíveis para as incógnitas. É indicado pela letra U.

Dada a equação 2x + 4 = 0, tendo sido determinado que a incógnita x só pode assumir os valores -2, 0 e 2, temos então que o conjunto universo desta equação é:

U = { -2, 0, 2 }.

Conjunto Verdade ou Conjunto Solução

O conjunto verdade ou conjunto solução é o conjunto dos valores de U que são raízes da equação, ou seja, são os valores que ao substituírem as incógnitas tornam a equação verdadeira. Indica-se por V ou S.

Para a equação 2x + 4 = 0, cujo conjunto universo é U = { -2, 0, 2 }, temos que destes três elementos apenas o elemento -2 torna a equação verdadeira, pois 2 . (-2) + 4 = 0, temos então que o conjunto verdade ou solução é:

V = { -2 } ou S = { -2 }.

Equações equivalentes

Duas equações são ditas equivalentes se possuírem a mesma raiz.

3x - 5 = x + 15 e

3x = x + 20 são equações equivalentes, pois em ambas, caso troquemos x por 10, a igualdade será verdadeira. 10 é raiz de ambas as equações. Por isto são equivalentes.

Princípio aditivo da igualdade

Adicionando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, ainda teremos uma igualdade.

Tomando-se como exemplo a igualdade 3x - 5 = x + 15, utilizada anteriormente acima, se somarmos o número 5 em ambos os seus membros teremos a igualdade 3x - 5 + 5 = x + 15 + 5, que é equivalente a 3x = x + 20. Observe que a raiz ou solução desta equação é igual à raiz da equação original, ou seja, para que a igualdade seja verdadeira, ainda é preciso que x continue sendo igual a 10.

Observe que se subtrairmos x dos dois membros da equação 3x = x + 20 ainda continuaremos com uma igualdade:

3x - x = x + 20 - x, que é equivalente a 2x = 20.

Atente ao fato de que a raiz da equação 2x = 20 também é igual a 10, pois 2 . 10 = 20.

Princípio multiplicativo da igualdade

Multiplicando-se ou dividindo-se os dois membros de uma igualdade por um mesmo número diferente de zero, ainda teremos uma igualdade.

Se dividirmos ambos os membros da equação 2x = 20 por 2, teremos a equação 2x : 2 = 20 : 2, que é equivalente à equação x = 10, cuja raiz obviamente é igual a 10.

Para um maior aprofundamento no assunto, veja também os demais tópicos relacionados.