Resolução Passo a Passo de Questões de Concursos Públicos - VII
1) Uma barra de madeira maciça, com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, tem as seguintes dimensões: 48 cm, 18 cm e 12 cm. Para produzir calços para uma estrutura, essa barra deve ser cortada pelo carpinteiro em cubos idênticos, na menor quantidade possível, sem que reste qualquer pedaço da barra. Desse modo, o número de cubos cortados será igual a quanto?
Para a resolução desta questão é necessário que se saiba calcular o volume de um paralelepípedo reto retângulo e também o volume de um cubo, além disto também precisamos saber calcular o MDC de três números naturais.
Se você ainda não entendeu onde o cálculo do MDC será utilizado na resolução deste problema, talvez substituir o trecho "na menor quantidade possível" por "com as maiores arestas possíveis", o ajude perceber o motivo.
Menos cubos serão gerados quanto maior for o volume deles. Para aumentarmos o volume de um cubo precisamos aumentar o tamanho das suas arestas, portanto, se soubermos qual é o maior número que divide 48, 18 e 12 teremos encontrado a maior medida possível para as arestas destes cubos.
Podemos calcular o MDC destes números pelo método da decomposição em fatores primos, ou pelo método das divisões sucessivas. Aqui vamos solucionar pelo método da decomposição em fatores primos.
Decompondo 48 em fatores primos temos:
Logo: 48 = 24 . 3
A fatoração do número 18 resulta em:
Logo: 18 = 2 . 32
E fatorando o número 12 temos:
Logo: 12 = 22 . 3
Como devemos considerar os fatores comuns com os menores expoentes temos que:
MDC(48, 18, 12) = 2 . 3 = 6
Então as arestas dos cubos terão comprimento igual a 6 cm.
O volume do paralelepípedo é dado por:
O volume de cada um dos cubos é dado por:
Portanto basta dividirmos 10.368 cm3 por 216 cm3 para encontrarmos o número de cubos que devem ser cortados satisfazendo os requisitos da questão:
Portanto:
O número de cubos cortados será igual a 48.
2) Os atletas de um clube foram divididos em grupos. Para os jogos de futebol, os grupos são de 11 atletas e, para os jogos de vôlei, os grupos são de 6 atletas. No total, foram formados 16 grupos. O clube tem 126 atletas dos jogos. Quantos grupos participarão dos jogos de vôlei?
Através do enunciado deste problema chegamos a duas equações com duas variáveis que podem ser solucionadas através de um sistema de equações do primeiro grau.
As variáveis se referem ao número de grupos de atletas. Para representar os grupos de atletas que jogam vôlei vamos utilizar a letra V e para os grupos de atletas que jogam futebol utilizaremos a letra F.
Se os 126 atletas disponíveis estão agrupados em V grupos de 6 atletas e em F grupos de 11 atletas, temos então a primeira equação:
Sabemos também que temos um total 16 de grupos de atletas:
Eis o nosso sistema de equações:
Para encontrarmos o valor de V, vamos isolar F no primeiro membro da segunda equação e substituí-lo na primeira:
Substituindo F na primeira equação temos:
Então:
10 grupos participarão dos jogos de vôlei.
3) As idades de um pai e seus dois filhos são diretamente proporcionais aos números 27, 14 e 11, respectivamente. Se as somas de suas idades é de 104 anos, então, as idades de cada um deles, na mesma ordem, são:
Este é um daqueles problemas que pede a divisão de um número em partes diretamente proporcionais a outros.
Segundo o enunciado as idades, ou partes resultantes da divisão de 104 em partes diretamente proporcionais a 27, 14 e 11 são:
- p1 = 27 . K
- p2 = 14 . K
- p3 = 11 . K
A soma destas partes resulta em 104:
p1 + p2 + p3 = 104
O valor da constante K será encontrado substituindo o valor de p1, p2 e p3 na expressão acima:
Então as idades do pai e de seus dois filhos serão encontradas substituindo K por 2 nas três expressões iniciais:
- p1 = 27 . 2 = 54
- p2 = 14 . 2 = 28
- p3 = 11 . 2 = 22
Logo:
54 anos, 28 anos e 22 anos.
4) Dada a inequação 2(x + 3) ≤ 4(x - 1), qual o menor número inteiro de três algarismos que seja solução?
Temos neste problema que resolver uma inequação do primeiro grau com uma incógnita. Inequações representam uma desigualdade matemática.
Até certo ponto a resolução de uma inequação do primeiro grau é idêntica à resolução de uma equação do primeiro grau.
Vejamos:
Até este ponto procedemos exatamente como iríamos proceder caso estivéssemos trabalhando com uma equação do primeiro, mas neste ponto, para isolarmos no primeiro membro a incógnita x, seja multiplicando ambos os membros por , seja utilizando o método de passar o coeficiente -2 para o "outro lado", realizando a operação inversa, devemos também trocar o operador aritmético ≤ por ≥:
Em uma inequação a troca dos operadores ≤ por ≥ e < por > e vice-versa, se faz necessária, sempre que de forma implícita ou explícita tivermos multiplicado ambos os membros da inequação por um fator negativo, que pode ser -1 quando apenas estamos querendo eliminar o sinal negativo do primeiro membro, ou pode ser qualquer outro fator negativo de acordo com a necessidade da situação.
Como último passo na resolução da inequação temos:
A solução desta desigualdade é portanto:
Ou seja, qualquer número real maior ou igual a 5 é solução da inequação.
Como o enunciado requer o menor número inteiro de três algarismos que seja solução, obviamente este é o número 100, pois é o menor número inteiro de três algarismos maior ou igual a cinco.
Portanto:
O menor número inteiro de três algarismos que é solução desta inequação é 100.
5) Quantos termos tem uma P.G. cuja soma é 765, o 1° termo é 3 e a razão é 2?
Aqui temos um problema envolvendo uma progressão geométrica, onde temos que resolver uma equação cuja incógnita se encontra no expoente.
Abaixo temos a fórmula para o cálculo da soma dos termos de uma P.G. quando a razão q é diferente de 1:
Com exceção de n, possuímos o valor de todas as outras variáveis desta fórmula:
Substituindo os valores na fórmula temos:
A partir deste ponto poderíamos continuar como a seguir:
O problema é que sem uma calculadora ou uma tabela fica difícil sabermos o valor de log(2) e de log(256), no entanto podemos resolver este problema de uma outra forma.
Vamos fatorar o número 256:
Note que 256 pode ser expresso como 28.
Portanto temos que:
Então:
Esta P.G. tem 8 termos.
6) Uma empresa possui 75 funcionárias mulheres e 390 funcionários homens. Se a empresa deseja que a proporção entre homens e mulheres passe para 3 por 1, contratando apenas homens ou mulheres, ela precisa contratar mais quantos funcionários?
Na resolução deste problema primeiramente devemos calculara a razão atual entre homens e mulheres para podermos decidir se devem ser contratados mulheres ou homens, para assim chegarmos à proporção desejada.
Como o número de homens é 390 e 75 é o número de mulheres, a razão entre eles é:
Isto significa que hoje na empresa a proporção entre homens e mulheres está na razão de 5,2 para 1, devendo portanto contratar mais mulheres.
Contratando x mulheres o objetivo será alcançado, quando então teremos a seguinte proporção:
Isolando a incógnita x no primeiro membro, temos:
Logo:
A empresa precisa contratar mais 55 mulheres.
7) Uma prova com três questões foi dada a uma classe de 50 alunos. Dez alunos acertaram as três questões, 15 alunos acertaram a primeira e a segunda questão, 12 alunos acertaram a segunda e a terceira, 20 acertaram a primeira e a terceira, 30 alunos acertaram a primeira questão, 21 alunos acertaram a segunda e 25 alunos acertaram a terceira questão. Com base nesses dados quantos alunos erraram as três questões?
No caso deste problema vamos resolvê-lo trabalhando com conjuntos. Vamos identificar quantos alunos acertaram ao menos uma questão e por subtração vamos descobrir quantos alunos erraram todas as questões.
Vamos criar um diagrama de Venn colorido para representarmos os dados do problema.
As questões 1, 2 e 3 serão representadas por conjuntos nas cores rosa, verde e amarela, respectivamente conforme o diagrama ao lado:
Segundo o enunciando dos 50 alunos da classe, 10 deles acertaram todas as questões.
No diagrama a intersecção dos 3 conjuntos representa exatamente os 10 alunos que acertaram todas as questões, por isto nesta região anotamos o número 10.
Agora vamos analisar os 15 alunos que acertaram as questões 1 e 2.
É importante que você perceba que os 10 alunos que acertaram todas as questões, obviamente acertaram as questões 1 e 2, repare que na região que representa a intersecção somente entre os conjuntos verde e vermelho anotamos o número 5, que somado ao número 10, que também faz parte da intersecção das questões 1 e 2, totaliza os 15 alunos que acertaram as questões 1 e 2.
Analisemos agora os 20 alunos que acertaram as questões 1 e 3. O procedimento é o mesmo utilizado no caso das questões 1 e 2.
Como são 20 os alunos que acertaram as questões 1 e 3 e como já anotamos 10 referente aos alunos que acertaram todas as questões, resta-nos anotar 10 que é a diferença para completar os 20 alunos que acertaram as questões 1 e 3.
Repare que a anotação da diferença foi realizada exatamente na intersecção entre os conjuntos vermelho e amarelo somente.
Da mesma forma que fizemos nos dois casos anteriores, analisaremos agora os 12 alunos que acertaram as questões 2 e 3.
Já que são 12 os alunos que acertaram as questões 2 e 3 e já que anotamos 10 referente aos alunos que acertaram todas as questões, restam 2 alunos a anotar, que se referem à diferença entre os 12 alunos que acertaram as questões 2 e 3 e os 10 alunos que acertaram todas as questões.
Se você estiver atento deve ter percebido que começamos a resolução do problema com os alunos que acertaram 3 das 3 questões da prova, depois analisamos os alunos que acertaram 2 das 3 questões. Agora seguindo esta sequência iremos analisar os alunos que acertaram apenas 1 das 3 questões. Agimos assim, pois desta forma temos como calcular facilmente a quantidade de elementos em cada conjunto e suas intersecções com os demais conjuntos.
Dando continuidade à resolução do problema vamos analisar agora o caso dos alunos que acertaram apenas a questão número 1.
Em relação ao conjunto rosa já temos anotados os números 5, 10 e 10, que correspondem ao número de alunos deste conjunto que também acertaram outras questões. Como 30 alunos acertaram a primeira questão e 25 deles também acertaram outras questões, então apenas 5 alunos acertaram exatamente a questão número 1.
Agora vamos analisar os 21 alunos que acertaram a questão número 2.
No diagrama acima já temos anotados 5, 10 e 2 referentes à questão número 2, portanto para completar os 21 alunos ainda faltam 4 alunos, que são justamente aqueles que acertaram apenas esta questão.
Finalmente para completarmos o diagrama vamos analisar agora os 25 alunos que acertaram apenas a questão número 3.
Como no diagrama anterior já temos anotados 10, 10 e 2 referentes à questão número 3, para completar os 25 alunos faltam 3, portanto apenas 3 alunos acertaram somente esta questão.
Somando todas as anotações temos:
Logo 39 dos alunos que acertaram ao menos uma única questão, 11 deles não acertou nenhuma delas:
Portanto:
11 alunos erraram as três questões.
8) Um treinador dispõe de uma turma de quinze alunos, onde nove são meninos. Ele precisa formar grupos de 4 pessoas de modo que neles haja pelo menos um menino. De quantas maneiras esse treinador pode montar esses grupos?
Neste problema temos um exemplo de análise combinatória, mais especificamente de combinação simples, isto porque a ordem dos alunos nos grupos formados não causa distinção entre os mesmos. Um grupo composto por João, Maria, Fátima e Vitória é o mesmo grupo formado por Maria, Vitória, João e Fátima, por exemplo. A combinação simples elimina estas permutações dos elementos do grupo, o arranjo simples não.
A maneira mais simples de resolvê-lo é calcularmos C6, 4 e a subtraímos de C15, 4, mas o que isto significa?
C15, 4 é a combinação simples dos 15 alunos agrupados 4 a 4, sem levarmos em consideração que devemos ter ao menos um menino no grupo:
Isto significa que se considerarmos também os grupos que contêm apenas meninas, temos um total de 1365 maneiras de combinar os estudantes.
Mas então quantos são os grupos que possuem apenas meninas?
É justamente isto que significa C6, 4:
Temos então 15 grupos que não possuem nenhum menino e que, portanto devem ser desconsiderados dos 1365 grupos possíveis:
Então:
Esse treinador pode montar esses grupos de 1350 maneiras.
9) As 360 páginas de um processo estão acondicionadas nas pastas A e B, na razão de 2 para 3, nessa ordem. O número de páginas que devem ser retiradas da pasta B e colocadas na pasta A, para que ambas fiquem com o mesmo número de páginas, representa, qual fração do total de páginas desse processo?
Neste problema o enunciado nos dá uma proporção através da qual podemos calcular o número de páginas na pasta A e depois na pasta B. Logo em seguida, já sabendo os valores de A e de B, também com os dados do enunciado, podemos calcular o número de páginas que devem ser transferidas da pasta A para a pasta B segundo a condição proposta. Por fim bastará calcular a fração.
No começo do texto da questão identificamos a seguinte proporção:
A está para B, assim como 2 está para 3.
Como sabemos que 360 é o número total de páginas do processo, podemos representar a variável B em função da variável A da seguinte forma:
Sendo assim, podemos reescrever a proporção como a seguir:
A partir desta proporção podemos obter o valor de A:
O valor de B então será:
Sabemos ainda que se retirarmos n páginas da pasta B e as colocarmos na pasta A, ambas as pastas ficarão com a mesma quantidade de páginas:
Como sabemos os valores de A e B, vamos substituí-los na equação para identificarmos o valor de n:
Agora sabemos que se retirarmos 36 das 216 páginas da pasta B e as colocarmos na pasta A, ambas ficarão com o mesmo número de páginas, ou seja, 180 páginas. Portanto a fração procurada é:
Logo:
A número de páginas a transferir segundo as condições apresentadas, representam 1/10 do número total de páginas do processo.
10) Nosso coração bate, em média, 70 vezes por minuto. Quantas batidas nosso coração dá em um dia?
Aqui precisamos ter conhecimento sobre as unidades de medida de tempo.
Sabemos que um dia possui 24 horas e que uma hora tem 60 minutos, então a quantidade de minutos em um dia é:
Como temos 1440 minutos por dia e como nosso coração bate em média 70 vezes por minuto, a média dos batimentos diários será de:
Portanto:
Na média nosso coração dá em um dia 100.800 batidas.