Resolução Passo a Passo de Questões de Concursos Públicos - VIII
1) Seja ABCD um trapézio retângulo. Sabendo-se que a base menor mede três centímetros, a base maior mede quinze centímetros e que a altura relativa à base maior mede cinco centímetros, podemos afirmar corretamente que o comprimento do lado do trapézio que não é perpendicular às bases mede quantos centímetros?
Para resolver esta questão precisamos saber o que é um trapézio retângulo e também conhecer o teorema de Pitágoras.
A partir dos dados do enunciado podemos desenhar o trapézio retângulo ao lado:
Repare que identificamos o lado desconhecido utilizando a letra x.
Se traçarmos uma linha vertical paralela ao lado de 5 cm conforme mostrado na figura, iremos dividir o trapézio retângulo em um retângulo e um triângulo retângulo:
Então para conhecermos o comprimento do lado x, basta utilizarmos o teorema de Pitágoras para calcularmos o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo resultante da separação do trapézio retângulo em duas partes.
O teorema de Pitágoras é representado pela equação:
Relacionando as variáveis temos:
Substituindo-as e resolvendo a equação:
Portanto:
O comprimento do lado do trapézio que não é perpendicular às bases mede 13 cm centímetros.
2) Um professor avalia o desempenho de seus alunos através de quatro exames, sendo que o primeiro tem peso um, o segundo tem peso dois, o terceiro tem peso três e o quarto tem peso quatro. Sabendo-se que um aluno obteve nota 4 no primeiro exame, nota 5 no segundo exame, nota seis no terceiro exame e obteve média final igual a 7,2, podemos concluir que este aluno obteve qual nota no quarto exame?
Nesta questão iremos trabalhar com o conceito de média aritmética ponderada.
Como sabemos, a média aritmética ponderada possibilita atribuir pesos diferentes a cada valor e atribuindo a letra x à nota desconhecida, podemos escrever a seguinte equação:
Veja que no primeiro membro temos no numerador da fração, a soma de cada uma das notas multiplicada pelo seu respectivo peso, já no seu denominador temos a soma dos pesos.
Resolvendo a equação chegamos ao valor da quarta nota:
Então:
Este aluno obteve nota 10 no quarto exame.
3) As rodas de uma motocicleta têm 60 centímetros de diâmetro. Quantas voltas cada roda deu após a motocicleta ter percorrido 27/5π quilômetros?
Precisamos ter conhecimento sobre a conversão entre os múltiplos e submúltiplos do metro e também sobre o perímetro de uma circunferência para solucionarmos esta questão.
Como a distância percorrida pela motocicleta está em quilômetros, vamos então transformar o diâmetro da roda de centímetros para quilômetros, para que ambas as medidas fiquem expressas no mesmo múltiplo do metro.
Para passarmos de centímetros para quilômetros, passaremos 5 níveis à esquerda. Dividiremos então 60 cm por 10 cinco vezes:
Como 0,0006 m se refere à medida do diâmetro das rodas, vamos dividir tal medida por 2 para obtermos a medida do raio delas:
Como sabemos o perímetro de uma circunferência é calculado através da fórmula:
Onde r é o raio da circunferência.
Então o perímetro das rodas será:
O número de voltas será obtido ao dividirmos a distância percorrida pelo perímetro encontrado:
Logo:
Cada roda deu 9000 voltas.
4) Elenita dispunha de R$ 3 000,00 e, em uma mesma data, aplicou a metade dessa quantia a juros simples e o restante a juros compostos, ambas à taxa mensal de 8%. Dessa forma, decorridos dois meses da data das aplicações, os montantes de ambas totalizavam quanto?
A resolução desta questão requer o conhecimento do cálculo do montante no regime de capitalização simples e no regime de capitalização composta.
Para que possamos utilizar as fórmulas financeiras, vamos identificar as variáveis do problema:
Repare que dividimos o capital por 2, pois metade será aplicada no regime de capitalização simples e metade será aplicada no regime de capitalização composta.
No regime de capitalização simples temos a seguinte fórmula:
Esta fórmula é resultante da junção das fórmulas dos juros e do montante na modalidade simples. Se quiser saber como tal junção é realizada, você pode consultar a página sobre juros compostos, onde fazemos uma comparação do cálculo do montante pelos dois regimes de capitalização.
O cálculo do montante simples através desta fórmula resulta em:
Na modalidade de capitalização composta temos a fórmula:
Executando o cálculo do montante composto através desta fórmula temos:
O montante na modalidade simples é de R$ 1.740,00, já no regime composto é de R$ 1.749,60, logo o montante total das duas aplicações será:
Portanto:
Decorridos dois meses da data das aplicações, os montantes de ambas totalizavam R$ 3.489,60.
5) Se três escavadeiras retiram 1.800 m3 de terra de um lote a cada oito horas, então qual é o número de escavadeiras necessário para se retirar 25.200 m3 de terra, deste lote, em quarenta e oito horas?
Nesta questão montaremos uma regra de três composta para resolvê-la.
Em primeiro lugar vamos atribuir uma letra a cada uma das grandezas do enunciado:
- E: A quantidade de escavadeiras;
- T: A quantidade retirada de terra em metros cúbicos;
- H: O número de horas de trabalho.
Vamos analisar a representação abaixo:
Agora iremos determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais à grandeza E.
Utilizaremos setas apontando na mesma direção para indicar grandezas diretamente proporcionais e com direção contrária para indicar o inverso.
Para começar vamos apontar para baixo a seta da grandeza E, indiferente poderíamos apontá-la para cima:
Vamos identificar se E e T são diretamente proporcionais. Visto que ao aumentarmos a quantidade de escavadeiras, também iremos aumentar a quantidade de terra retirada, então as duas grandezas são diretamente proporcionais, por isto a seta de T terá a mesma orientação para baixo que a seta de E:
Agora vejamos a relação que existe entre as grandezas E e H.
Ao aumentarmos o número de horas de trabalho, iremos precisar de uma menor quantidade de escavadeira, concluímos então que estas duas grandezas são inversamente proporcionais, então H terá a seta apontada para cima:
Para podermos montar uma proporção e então resolvermos o problema, precisamos que todas as setas de todas as grandezas apontem na mesma direção e como somente a grandeza H esta com a orientação invertida, vamos então inverter sua seta e os seus dados:
Neste ponto todas as grandezas têm a mesma orientação, então vamos montar a proporção e resolvê-la:
Então:
7 é o número necessário de escavadeiras.
6) Um estacionamento possui 200 vagas: 150 para carros e 50 para motos. Num certo momento, o painel eletrônico informava que existiam 50 vagas disponíveis. Depois de um certo tempo, chegaram 7 motos e as vagas de motos foram ocupadas. Podemos dizer que, com base no exposto, o número de carros que estavam no estacionamento naquele momento era qual?
Esta é uma questão que envolve basicamente operações aritméticas fundamentais como adição e a subtração.
Como existiam 50 vagas disponíveis e as 7 motos que chegaram completaram as 50 vagas destinadas a elas, se pode dizer que o número de motos antes da chegada delas era igual a 43:
Como antes da entrada das 7 motos que chegaram, 50 vagas estavam disponíveis, isto quer dizer que 150 delas estavam ocupadas:
Já que dentre as 150 vagas ocupadas tínhamos 43 motos, concluímos que o número total de carros era 107:
Logo:
Podemos dizer que 107 era o número de carros que estavam no estacionamento naquele momento.
7) Às 7 horas e 45 minutos de certo dia, duas filas foram formadas em frente a dois guichês de um balcão de atendimento de uma Repartição Pública: a do guichê 01, com 15 pessoas, e a do guichê 02, com 6 pessoas. Suponha que: a cada 5 minutos contados a partir desse momento, a fila do guichê 01 recebeu 1 pessoa e a do guichê 02 recebeu 2 pessoas; os funcionários responsáveis pelo atendimento em tais guichês iniciaram suas atividades apenas quando as duas filas ficaram com o mesmo número de pessoas. Assim sendo, o atendimento nesses guichês teve início em qual horário?
Neste problema precisamos saber calcular o n-ésimo termo de uma progressão aritmética, além de sabermos resolver um sistema de equações do primeiro com duas variáveis e sabermos trabalhar com unidades de medida de tempo.
No guichê com 15 pessoas, cuja fila aumenta na razão de uma pessoa a cada cinco minutos, temos uma P.A. com o primeiro termo a1 = 15 e com razão r = 1.
No outro guichê, com 6 pessoas, cuja fila aumenta na razão de duas pessoas a cada cinco minutos, temos uma P.A. com o primeiro termo a1 = 6 e com razão r = 2.
Como o atendimento só começou quando as duas filas atingiram a mesma quantidade de pessoas, concluímos que neste momento o termo an das duas progressões aritméticas eram iguais.
Segundo a fórmula do termo geral de uma P.A., o termo an do guichê 01 é:
No guichê 02 o termo an é:
Em resumo temos:
Multiplicando a primeira equação do sistema por -1 e somando-as, temos:
O tempo decorrido desde o início até as filas se igualarem no número de pessoas é dado por:
Repare que multiplicamos 5 minutos por 9 e não por 10, senão contaríamos 50 minutos e não 45.
Para calcular o horário final você tem várias alternativas. Uma que pode ser utilizada em qualquer situação, embora não seja a mais simples, é somar os 45 minutos do horário de início, aos 45 minutos necessários para as filas se igualarem, totalizando assim 90 minutos.
Dividimos 90 por 60. O quociente 1 somamos na hora do horário de início, o resto 30 será o número de minutos deste horário.
Se na hora tivéssemos obtido um valor maior ou igual a 24, teríamos que dividi-lo por 24, o resto iria se referir à hora de início e o quociente iria ser acrescentado ao dia.
Portanto:
O atendimento nesses guichês teve início às 8 horas e 30 minutos.
8) Sonhei que no Pantanal Mato-grossense uma arara pousou em uma árvore e cumprimentou os jaburus que lá se encontravam: Bom dia a todos os 57 jaburus amigos que se encontram nesta árvore. Os jaburus responderam em coro: Bom dia! Um jaburu comentou: Nós não somos tantos, dona Arara. Mas, se a senhora somar a nós 1/3 de nós e mais 1/6 de nós, aí , sim, seremos 57. Quantos jaburus havia na árvore?
Nesta questão vamos trabalhar com a soma algébrica de frações na resolução de uma equação do primeiro grau.
Primeiramente vamos atribuir a letra x à variável que utilizaremos para representar o número real de jaburus que se encontravam na árvore.
Agora podemos montar a seguinte equação:
x/3 e x/6 representam respectivamente 1/3 e 1/6 dos jaburus que realmente se encontram na árvore, que juntamente com x, de fato irão totalizar 57 jaburus.
Resolvendo a equação temos:
Então:
Na árvore havia 38 jaburus.
9) Os valores que anulam a função do 2° grau y = f(x) = x2 5x + 4 são pares, ímpares, naturais consecutivos, positivos ou negativos?
Os valores que anulam uma função do 2° grau são as suas raízes, que correspondem às intersecções com o eixo das abscissas, o eixo x.
Temos portanto que encontrar as raízes da equação:
O seu discriminante é assim calculado:
Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes.
Utilizando a fórmula geral de resolução abaixo, temos:
Como as raízes são 4 e 1:
Os valores que anulam a referida função do 2° grau são positivos.
10) Quando três números reais, positivos e não nulos formam uma progressão geométrica, dizemos que o termo do meio corresponde à média geométrica dos outros dois. Desse modo, qual é a média geométrica entre 28 e 252?
Nesta questão precisamos saber o método de cálculo da média geométrica, ou então o que vem a ser progressão geométrica e também como extrair a raiz quadrada de um número através da fatoração.
Simples assim, mas sem uma calculadora fica um tanto complicado, por isto é uma boa medida decompormos os dois números em fatores primos para podermos trabalhar mais facilmente.
Decompondo 28 temos:
Isto é:
28 = 22 . 7
Decompondo 252 obtemos:
Ou seja:
252 = 22 . 32 . 7
Agora vamos ao cálculo da média geométrica:
Podemos então recorrer às propriedades da exponenciação e da radiciação para encontramos a média desejada:
Também poderíamos ter decomposto o número 7056, que é o produto de 28 por 252, mas isto fica a seu critério.
Portanto:
A média geométrica entre 28 e 252 é 84.