Resolução Passo a Passo de Questões de Concursos Públicos - V
1) Um caldeirão cilíndrico tem 40 cm de diâmetro e 15 cm de altura e está lotado em sua capacidade máxima de doce. Cláudia vai encher potinhos cônicos com esse doce. Se cada potinho tem 6 cm de altura e 4 cm de diâmetro da base, quantos potinhos serão necessários para colocar todo esse doce?
Neste quesito é necessário que saibamos calcular o volume tanto de um cone, quanto de um cilindro, pois a razão destes volumes é a resposta deste problema.
Para calcularmos o volume do cilindro que contém o doce vamos utilizar a seguinte fórmula:
O volume dos potinhos que irão conter os doces será calculado através da fórmula:
Note que o volume do cone equivale a 1/3 do volume do cilindro.
Como o diâmetro do caldeirão é de 40 cm, seu raio que é a metade disto mede 20 cm. A altura sabemos que é de 15 cm, portanto o seu volume é igual a:
Não realizamos a multiplicação por , pois poderemos simplificá-lo com o que existe no cálculo do volume do cone.
Para o cálculo do volume do potinho temos um raio de 2 cm, que é a metade dos 4 cm do diâmetro e uma altura de 6 cm:
Dividindo um volume pelo outro vamos obter a quantidade necessária de potinhos:
Portanto:
Serão necessários 750 potinhos para colocar todo esse doce.
2) Em um concurso para escrevente, 40% dos candidatos inscritos foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas provas eliminaram, quantos por cento do total de candidatos inscritos?
Vamos resolver esta questão calculando o percentual de candidatos que conseguiram passar para a segunda fase, depois calcularemos o percentual de candidatos que ultrapassaram a segunda fase, quando então calcularemos o percentual total de candidatos eliminados nas duas provas.
Se 40% dos candidatos inscritos foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, então 60% dos candidatos inscritos não foram eliminados nesta prova:
Poderíamos ter encarado as eliminações como uma redução percentual de 40% dos candidatos inscritos dentre os 100% dos candidatos que se inscreveram:
Mesmo sendo o primeiro método mais simples, esta alternativa foi exposta, pois no próximo passo precisaremos utilizar este outro método.
A prova de Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes, ou seja, eliminou 40% dos 60% de candidatos inscritos que não foram eliminados na primeira prova:
Ora, se apenas 36% dos candidatos inscritos dentre os 100% dos candidatos que se inscreveram não foram eliminados pelas duas provas, isto significa que 64% dos candidatos inscritos foram eliminados:
Então:
Essas duas provas eliminaram 64% do total de candidatos inscritos.
3) Everaldo deve escolher um número de quatro algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros: 163, que corresponde ao número de seu apartamento. Se Everaldo escolher de modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que a senha formada seja um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si, é de quantos por cento?
Em resumo a resolução deste problema consiste em calcular a probabilidade de se escolher um dos dígitos que atendem aos requisitos da questão, dentre os 10 algarismos possíveis.
Neste problema o espaço amostral contém os seguintes elementos:
S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
O evento E1 que representa a escolha de um dos elementos do espaço amostral que seja par e que não esteja dentre os algarismos do número 163 é:
E1 = { 0, 2, 4, 8 }
Note que E1 é formado por todos algarismos pares, com exceção do algarismo 6, pois este é um dos dígitos do número 163.
O número de elementos de E1 é 4, ou seja, n(E1) = 4, já o número de elementos de S é 10, portanto n(S) = 10.
Estas informações já nos permitem calcular a probabilidade solicitada pelo problema:
A probabilidade é de 4/10, mas como é solicitada a resposta em porcentagem, temos:
Logo:
A probabilidade de que a senha escolhida por Everaldo atenda as condições do problema é de 40%.
4) Carlos aplicou R$ 1.680,00 em uma poupança e R$ 1.120,00 em outra, ambas durante o mesmo período de tempo, no mesmo banco. Se, no final desse período, as duas juntas renderam R$ 980,00, então, a aplicação de menor valor rendeu?
Neste problema fica claro que o rendimento de cada aplicação deve ser proporcional ao capital aplicado, neste caso vamos trabalhar com uma proporção.
Na parte teórica vimos que dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e que formam nesta ordem uma proporção, de acordo com a segunda propriedade das proporções temos que:
Vamos então criar algumas associações entre os dados do enunciado e estas variáveis:
c se refere ao rendimento da maior aplicação e d ao rendimento da menor.
Agora vamos realizar as substituições:
Como já era de se esperar, chegamos a uma proporção onde a soma das aplicações está para a menor aplicação, assim como a soma dos rendimentos está para o menor rendimento, que é desconhecido.
Chegamos então a uma regra de três e vamos resolvê-la:
Portanto:
A aplicação de menor valor rendeu R$ 392,00.
5) Um comerciante comprou 1.500 frangos por R$ 6,50 cada, mas como pagou à vista teve 10% de desconto. Qual o preço que deve ser vendido cada frango para que o comerciante tenha um lucro de 28% sobre o preço total pago, sendo que 96 deles morreram?
Além de sabermos utilizar algumas das operações aritméticas fundamentais na resolução deste problema, também precisamos saber trabalhar com porcentagens.
O preço unitário de compra dos frangos é de R$ 6,50, mas como foi obtido um desconto de 10%, cada frango acabou saindo por R$ 5,85:
Então no total o comerciante pagou R$ 8.775,00 pelos 1500 frangos:
Acontece que morreram 96 frangos, restando apenas 1404 frangos para serem comercializados:
Para não perder nem ganhar um único centavo sequer, o comerciante deve vender cada um deles a R$ 6,25:
Já que o comerciante quer ter um lucro de 28%, cada frango deve ser vendido a R$ 8,00:
Então:
Cada frango deve ser vendido a R$ 8,00.
6) Três médicos (Dr. Castanheira, Dr. Silveira e Dr. Souza) investiram juntos em um laboratório de Análises Clínicas durante 1 ano, obtendo, no fim deste período, um lucro de R$ 171.000,00. O Dr. Castanheira investiu R$ 15.000,00 neste empreendimento, durante todo o período de investimento; o Dr. Silveira investiu R$ 12.000,00, durante 6 meses; e o Dr. Souza investiu R$ 18.000,00 durante 5 meses. Quantos reais do lucro cabem a cada um, respectivamente?
Neste problema temos um caso de divisão em partes diretamente proporcionais a duas sequências de números.
Segundo o enunciado os R$ 171.000,00 devem ser repartidos em partes diretamente proporcionais a R$ 15.000,00, R$ 12.000,00 e R$ 18.000,00 e também em partes diretamente proporcionais a 12 meses, 6 meses e 5 meses, então podemos montar as seguintes igualdades:
- p1 = K . 15000 . 12
- p2 = K . 12000 . 6
- p3 = K . 18000 . 5
Ou seja:
- p1 = 180000K
- p2 = 72000K
- p3 = 90000K
Além disto também temos que:
Obtemos o valor da constante K substituindo o valor de p1, p2 e p3 na última igualdade:
Portanto as partes são:
- p1 = 180000 . 0,5 = 90000
- p2 = 72000 . 0,5 = 36000
- p3 = 90000 . 0,5 = 45000
Logo:
Cabem a cada um R$ 90.000,00, R$ 36.000,00 e R$ 45.000,00, respectivamente.
7) Reparte-se 1.875 em partes diretamente proporcionais aos números 9, 10 e 11. Qual é diferença entre a maior e a menor parte?
Nesta questão trabalhamos com a divisão de um número em partes diretamente proporcionais.
A partir do enunciado temos que:
- p1 = 9 . K
- p2 = 10 . K
- p3 = 11 . K
- p1 + p2 + p3 = 1875
Vamos encontrar o valor da constante K substituindo o valor de p1, p2 e p3 na última expressão:
A maior parte será p3 que é igual a 11k e a menor parte será p1 que é igual a 9k, portanto a diferença entre a maior e a menor parte é:
Como K = 62,5 temos que:
Então:
A diferença entre a maior e a menor parte é 125.
8) Numa reforma de uma escola, 50 homens finalizaram o trabalho em 300 dias trabalhando, 8 horas por dia. Numa outra reforma equivalente a um terço da primeira, o engenheiro dispõe de 200 dias e precisa de homens para trabalhar numa jornada de seis horas diárias. Qual é número mínimo de homens que o engenheiro pode contratar, para garantir a conclusão da obra no tempo determinado?
Nesta questão temos uma regra de três composta, tanto com grandezas diretamente proporcionais, quanto com grandezas inversamente proporcionais a outras.
Para montarmos a representação da regra de três, primeiramente vamos atribuir uma letra a cada uma das grandezas:
- H: O número de homens;
- D: O número de dias de trabalho;
- J: A jornada de trabalho diária;
- R: O tamanho da reforma.
A partir dos dados do enunciado esquematizamos a seguinte representação para a análise do problema:
A grandeza H, referente aos homens que trabalham na obra, foi posicionada propositalmente à direita, para quando montarmos a proporção, podermos facilmente isolar a incógnita x.
Antes de montarmos a proporção é preciso que se determine se as demais grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais à grandeza H. Utilizaremos setas com a mesma orientação para indicar grandezas diretamente proporcionais e com orientação oposta para indicar o inverso.
Para começarmos a análise, vamos escolher a orientação da grandeza H para baixo:
D é inversamente proporcional a H, pois diminuindo o número de dias é necessário que se aumente o número de homens, para que possa realizar a mesma quantidade de trabalho, por isto a seta terá sentido contrário:
Tal como D, J é inversamente proporcional a H, já que diminuindo o número de horas de trabalho por dia, também é necessário que se aumente o número de homens, para que possa realizar a mesma produção com esta jornada menor:
Já a última grande R é diretamente proporcional a H, já que diminuindo o porte da obra, teremos também uma redução na quantidade de homens:
Deixemos agora todas as grandezas com a mesma orientação. As grandezas D e J serão invertidas para apontarem na mesma direção de H:
Agora podemos montar a proporção desta regra de três:
100 dividido por 3 é aproximadamente igual a 33,33, logo precisamos arredondar este valor para cima, pois 30 homens não seriam suficientes.
Então:
O número mínimo de homens que o engenheiro pode contratar é 34.
9) Escolhendo-se ao acaso um dos anagramas da palavra CONTAGEM, qual fração irredutível representa a probabilidade de o anagrama escolhido terminar em "TA"?
Este é mais um daqueles problemas onde a análise combinatória aparece associada ao cálculo de probabilidades.
Para resolvê-lo vamos descobrir o número de combinações que terminam em "TA", para relacionarmos com o número total de combinações, que vem a ser o espaço amostral da questão.
O número de elementos do espaço amostral S é representado por n(S).
Nesta questão n(S) é obtido através da sentença:
Ou seja, o número total de combinações é a permutação simples das 8 letras da palavra CONTAGEM:
Agora vamos chamar de E o evento referente à escolha de um anagrama que termine em "TA".
Como temos apenas 6 letras a permutar, já que 2 das 8 letras pertencem ao final "TA", n(E), que representa o número de combinações que terminam em "TA", é calculado por:
A probabilidade que estamos procurando é dada por:
Se não precisássemos explicar o porque de cada cálculo, poderíamos realizá-lo mais rapidamente como a seguir:
Desta forma teríamos poupado uma série de multiplicações, ao mesmo tempo em que tornaríamos mais fácil a simplificação da fração.
Logo:
A fração é 1/56.
10) Em uma determinada escola, alguns alunos reuniram-se para comprar um presente para uma professora. Eles fizeram os cálculos e verificaram que se cada um contribuísse com R$ 5,00 sobrariam R$ 4,00 e se cada um contribuísse com R$ 4,00 faltariam R$ 8,00. Quantos alunos se reuniram para comprar o presente?
Temos aqui um pequeno sistema de equações com duas incógnitas e duas equações. O problema se resume em identificarmos as equações, montarmos o sistema e resolvê-lo.
Se cada um contribuísse com R$ 5,00 sobrariam R$ 4,00 pode ser equacionado como:
Onde n é o número de alunos e p é o preço do presente.
No primeiro membro da equação o termo 5n representa o total arrecadado em reais pelos n alunos.
Perceba que ambos os membros da equação representam valores em reais.
No segundo membro da equação temos a representação do preço do presente com uma sobra de R$ 4,00.
Se cada um contribuísse com R$ 4,00 faltariam R$ 8,00 equacionamos como:
Repare que agora a contribuição dos alunos caiu de R$ 5,00 para R$ 4,00, assim como agora há uma falta de R$ 8,00 para totalizar o valor do presente.
Montando o sistema temos:
Para solucioná-lo vamos multiplicar a segunda equação por -1 e somar com a primeira:
Portanto:
Para presentear a professora, 12 alunos se reuniram para comprar o presente.