Resolução Passo a Passo de Questões de Concursos Públicos - III
1) Um trem, viajando em uma velocidade constante, passa por um poste muito fino em 30 segundos e passa completamente por um túnel de 500 m de comprimento em 1 minuto e 20 segundos. O comprimento desse trem é aproximadamente quantos metros?
Na resolução deste problema iremos utilizar uma proporção, que como sabemos é a igualdade de duas razões, mas quais são as grandezas envolvidas nestas razões?
Esta questão é bastante simples, mas precisamos ter uma boa capacidade de observação para notarmos as informações que estão ocultas, ou nem tanto assim.
Primeiro, o texto "passa por um poste muito fino" significa que comparativamente ao comprimento do trem, a espessura do poste é muita pequena e, portanto, para efeitos de cálculos pode ser desprezada.
A segunda informação é: "viajando em uma velocidade constante". Esta é a condição de igualdade da nossa proporção.
Mas por que me refiro a uma proporção?
Se um veículo faz o percurso de 120 km entre duas cidades em 2 h, a sua velocidade média é de 60 km/h, ou seja, é a razão de 120 km : 2 h.
O enunciado nos dá duas distâncias distintas, que são percorridas em tempos distintos, mas com a mesma velocidade, temos aí as nossas duas razões que dão origem à nossa proporção.
Como o poste é muito fino, se pode dizer que para percorrer o seu próprio comprimento, que vamos chamar de c, o tempo gasto é de 30 s.
Como vimos acima, a velocidade é a razão da distância percorrida para o tempo de percurso. Então temos nossa primeira razão:
Para passar pelo túnel de 500 m o trem gasta 1 min 20s, como um minuto é igual a sessenta segundos, o tempo gasto é de 80 s. Vamos trabalhar em segundos, pois a outra razão também trabalha em segundos.
Mas o que significa passar pelo túnel?
Podemos dizer que o trem começa a passar pelo túnel assim que a sua frente adentra a ele e termina a passagem quando a última parte da sua traseira sai do túnel. Neste intervalo de tempo o trem percorreu não só o seu próprio comprimento, como todo o comprimento do túnel. Então temos nossa segunda razão:
Como a velocidade é constante, podemos formar uma proporção com as duas razões:
Agora não há mais segredo, basta isolarmos a variável c:
Portanto:
O trem tem um comprimento aproximado de 300 m.
2) Um total de 25 selos, alguns com valor de R$ 0,18 e outros com valor de R$ 0,22, perfazem um total de R$ 4,90. Qual é a diferença entre o número de selos de R$ 0,18 e os de R$ 0,22?
Temos aqui mais um problema em cuja resolução montamos um sistema de equações do primeiro grau com duas variáveis. Este tipo problema é bastante comum em concursos públicos.
Note que temos duas variáveis, dois tipos de selo com preços diferentes. Vamos chamá-los de a e b.
Temos também duas equações. Uma delas se referindo a quantidades, que diz que temos um total de 25 selos:
E uma outra equação se referindo a preços, onde temos a selos a R$ 0,18 cada e b selos a R$ 0,22 em um total de R$ 4,90:
Podemos então montar o seguinte sistema:
Vamos multiplicar a primeira equação por -0,22 para que o coeficiente da incógnita b seja simétrico ao coeficiente da mesma variável na segunda equação:
Agora tendo b coeficientes com valores opostos, vamos somar as equações para eliminarmos b e obtermos assim o valor de a:
Para obtermos o valor de b vamos substituir a na primeira equação:
Como temos 15 selos de R$ 0,18 e 10 selos de R$ 0,22, a diferença entre o número de selos é 5:
Então:
A diferença entre o número de selos de R$ 0,18 e de R$ 0,22 é de 5 selos.
3) Um granjeiro tinha 240 frangos e ração suficiente para alimentá-los por 60 dias. Entretanto, 10 dias depois ele comprou mais 60 frangos e 10 dias depois dessa compra ele abateu 200 frangos. Por mais quantos dias após esse abate ele pode alimentar os frangos com a ração restante?
A resolução desta questão envolve a utilização de regras de três a cada mudança na quantidade de aves, para calcularmos por quanto tempo ainda dará a ração restante, levando-se em conta o tempo decorrido.
Após dez dias o número de aves passou de 240 para 300. Como a ração ainda dava para 50 dias, pois já se passaram dez dias, temos a seguinte regra de três simples e inversa:
A regra de três é inversa, pois aumentando o número de aves, a ração será suficiente para um menor número de dias, ou seja, são grandezas inversamente proporcionais.
Por isto é preciso deixarmos as duas setas com a mesma orientação, invertendo os dados da primeira grandeza:
Agora vamos montar uma proporção segundo a propriedade fundamental das proporções, isto é, uma regra de três propriamente dita:
Então com 300 aves temos ração suficiente para alimentá-las por 40 dias, só que dez dias depois, quando faltam só 30 dias para a ração acabar, 200 frangos são abatidos. Quando então ficamos com apenas 100 aves.
Em função destes novos dados podemos fazer a seguinte representação:
Da mesma forma que fizemos no início, pelos mesmos motivos precisamos fazer a inversão dos dados da primeira grandeza:
Montando a regra de três temos:
Logo:
O granjeiro pode alimentar os frangos com a ração restante por mais 90 dias.
4) Para subir em uma árvore, Roberto utilizou uma escada com 13 metros de comprimento que, inclinada, atingia um ponto, perpendicular ao solo, a partir de onde era possível subir no restante da árvore. No solo, que era plano, o "pé" da escada ficou 5 metros afastado da árvore. O ponto da árvore atingido pelo topo da escada, estava a uma altura de quantos metros em relação ao solo?
O enunciado desta questão descreve um triângulo retângulo com dois lados conhecidos. A medida do lado desconhecido é justamente a resposta desta questão e a descobriremos recorrendo ao Teorema de Pitágoras.
Na figura ao lado temos um triângulo retângulo que representa a situação, com os seus lados identificados por letras e abaixo temos a equação que representa o teorema de Pitágoras:
Tanto na figura, quanto na equação, b e c representam os catetos do triângulo retângulo. São eles que formam o ângulo reto e a representa a hipotenusa.
Neste problema a hipotenusa corresponde ao comprimento da escada, medindo, portanto, 13 m como podemos ver na figura. A base do triângulo mede 5 m e foi representada pela letra c, segundo o enunciado, esta é a distância entre o "pé" da escada e a base da árvore no solo.
Para resolvermos o problema basta substituirmos as variáveis por seus respectivos valores e isolarmos a variável desconhecida b:
Portanto:
O ponto da árvore atingido pelo topo da escada estava a uma altura de 12 metros em relação ao solo.
5) Quando questionada sobre quantos filhos possuía, Violeta respondeu:
- Cada filho meu do sexo masculino tem tantas irmãs como irmãos e o número de irmãos de cada uma das minhas filhas é o triplo do número de irmãs que ela tem.
A resposta de Violeta permite que se conclua corretamente que, no total, ela tem quantos filhos?
Neste problema temos que equacionar as asserções do enunciado e montarmos um sistema de equações com as equações encontradas, para obtermos a resposta desejada.
Na montagem das equações vamos atribuir a letra H ao número de filhos e a letra M ao número de filhas.
O trecho "Cada filho meu do sexo masculino tem tantas irmãs como irmãos" nos indica que o número de filhos é uma unidade superior ao número de filhas, pois se retirando um dos filhos, já que ninguém é irmão de si mesmo, os filhos restantes ficam em quantidade igual ao número de filhas:
Já o trecho "o número de irmãos de cada uma das minhas filhas é o triplo do número de irmãs que ela tem" nos leva à seguinte fórmula:
Onde H é o número de irmãos de cada uma das filhas e M - 1 é o número de irmãs que cada irmã tem, pois assim como no caso dos irmãos, ninguém é irmã de si mesma. Obviamente o triplo do número de irmãs de cada irmã é 3(M - 1).
Temos então um sistema com duas equações e duas variáveis:
Na segunda equação substituindo H por M + 1 temos:
Já que o número de filhas é igual a 2, o número de filhos é:
E em sendo o número de filhos igual a 3, o número total de filhos é:
Então:
Violeta tem 5 filhos no total.
6) Uma rede de pesca foi colocada no rio formando um retângulo cujo maior lado media 40 metros e cuja área de seu interior era igual a 800 metros quadrados. Qual o comprimento total dessa rede?
Para a resolução deste problema precisamos saber como calcular tanto a área, quanto o perímetro de um retângulo.
Como um dos lados mede 40 m e a área do retângulo é de 800 m, obtemos a medida do lado menor dividindo a área pela medida do lado maior, que é equivalente a utilizarmos a fórmula de cálculo da área de um retângulo:
O perímetro de um retângulo é igual à soma da medida dos seus quatro lados. Podemos também utilizar esta fórmula:
Utilizando a fórmula temos:
Logo:
O comprimento total dessa rede é de 120 m.
7)
A soma da idade do pai e do filho é igual a 44 anos. Considerando que a idade do pai está para a idade do filho assim como 8 está para 3, quando o filho nasceu o pai tinha quantos anos?
A solução deste problema será encontrada segundo as propriedades fundamentais das proporções.
Vamos chamar de a a idade do pai e de b a idade do filho. O enunciado diz que a está para b, assim como 8 está para 3. Em função da segunda propriedade fundamental das proporções temos:
Sabemos que a soma de a com b resulta em 44, assim como 8 mais 3 resulta em 11. Substituindo estes valores na proporção temos:
O valor de a calculamos como a seguir:
Como atualmente o pai tem 32 anos, subtraindo os 12 anos da idade do filho encontraremos a idade do pai quando o filho nasceu:
Portanto:
Quando o filho nasceu o pai tinha 20 anos.
8) O alimento levado para um acampamento com 40 pessoas é suficiente para 3 dias. Se a esse acampamento fossem 20 pessoas a menos, essa mesma quantidade de alimento seria suficiente para quantos dias?
Aqui nós temos um problema de regra de três simples e inversa, porque diminuindo o número de pessoas, o alimento levado será suficiente para uma maior quantidade de dias.
A grandeza alimentos A e a grandeza pessoas P são inversamente proporcionais, pois quando o número de pessoas diminui, os alimentos rendem por mais dias, portanto representaremos as grandezas com as setas em orientação invertida e sendo assim será necessário que façamos a inversão de termos.
Com 40 pessoas o alimento é suficiente para 3 dias, com 20 pessoas a menos, ou seja, com 20 pessoas, o alimento é suficiente para x dias:
Montando a proporção e resolvendo temos:
Então:
Com 20 pessoas a quantidade de alimento seria suficiente para 6 dias.
9) O dono de uma sapataria sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser aumentado em no mínimo 20%. Porém ele prepara a tabela de preços com o preço de venda acrescentado em 80%. Nessa situação, o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, para não ter prejuízo, é de, aproximadamente quanto?
Esta questão basicamente requer que se saiba trabalhar com acréscimos e descontos percentuais, ora calculando o percentual a partir do valor, ora calculando o valor a partir do percentual.
O valor de um produto sem qualquer acréscimo ou desconto equivale a 100% do mesmo.
Se dermos um aumento de 20% passará a 120%:
Com um aumento de 80% passará a 180%:
120% e 180% são respectivamente 1,2 e 1,8 na forma decimal:
Dividindo 1,2 por 1,8 obtemos aproximadamente 0,666, que na forma de porcentagem dá 66,6%, que arredondaremos para 67%, já que o enunciado pede um valor aproximado.
Este percentual de 67% representa quantos por cento, do total de 100% do valor do produto, sobrarão após o desconto máximo sem que haja prejuízo. Portanto o maior desconto que poderá ser concedido será de 33%:
Logo:
O desconto máximo que o dono pode conceder ao cliente é de 33%.
10)
Num teste de 10 questões, um aluno resolveu marcar aleatoriamente as alternativas, que eram apenas C(certo) ou E(errado), em cada questão. Sabendo que para ser aprovado, o aluno deve acertar 6 ou mais questões, qual a probabilidade aproximada de ele acertar exatamente 6 questões?
Este é um problema de probabilidade onde temos um número determinado de tentativas independentes com escolhas aleatórias e com probabilidade de sucesso constante. Em função disto vamos recorrer à distribuição binomial para solucioná-lo.
A probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton:
Nesta questão k = 6 e n = 10.
A probabilidade de sucesso em cada tentativa é representada por p e neste caso é igual a 1/2, pois das duas possibilidades, certo ou errado, escolhemos apenas uma, ou seja, temos uma possibilidade em duas o que nos dá uma probabilidade de sucesso igual a 1/2.
Como temos apenas sucesso ou fracasso, se a probabilidade de sucesso é igual a 1/2 então a probabilidade de fracasso será 1 - 1/2, ou seja, será 1/2 também. Este é o valor de q, a probabilidade de fracasso.
é a combinação simples de n elementos distintos, agrupados k a k, com k ≤ n:
Vamos calcular o número binomial:
Sabendo que podemos finalmente calcular a probabilidade procurada:
105/512 é aproximadamente igual a 0,205, que multiplicado por 100% é igual a 20,5%.
Portanto:
A probabilidade aproximada do aluno acertar exatamente 6 questões é de 20,5%.