Resolução Passo a Passo de Questões de Concursos Públicos - VI
1) Durante as férias, seis amigos decidiram fazer uma viagem para a praia. Organizaram tudo e resolveram dividir as despesas igualmente entre eles. Pouco antes da viagem, dois deles desistiram de ir. Com isso, as despesas aumentaram em R$ 130,00 para cada um dos amigos. Qual foi o custo total da viagem?
Na resolução deste problema vamos utilizar nosso conhecimento sobre equações do primeiro grau com uma variável.
Vamos chamar de p a parte em reais que cabe a cada um dos seis amigos que decidiram viajar.
Agora analisemos a equação abaixo:
Você conseguiria ter chegado até ela a partir dos dados do enunciado da questão?
No primeiro membro com o termo 6p estamos dizendo que o custo da viagem será o valor pago individualmente pelos amigos, multiplicado pelo número de amigos.
Para que a equação seja verdadeira, no segundo termo também temos que representar o custo da viagem, que se manteve o mesmo, ainda que o número de participantes tenha diminuído.
No segundo membro temos apenas 4 participantes da viagem, com uma despesa unitária de p + 130, pois ao valor que cada um pagaria, foi acrescentado R$ 130,00 em função das duas desistências.
Como já temos a equação, vamos resolvê-la:
Então o valor que cada amigo iria pagar se os seis fizessem a viagem seria de R$ 260,00. Logo o custo total da viagem seria:
Portanto:
O custo total da viagem foi de R$ 1.560,00.
2) Quando um conteúdo de um reservatório é escoado por uma bomba, o tempo necessário para esvaziar completamente esse reservatório é de 1 hora, 37 minutos e 42 segundos. Se forem utilizadas 2 bombas, qual será o tempo necessário para esvaziá-lo?
A resolução deste problema envolve dois conceitos. Um deles é o conceito de regra de três simples inversa e o outro é o conceito de medidas de tempo.
Segundo o enunciado temos a seguinte representação das grandezas:
Como as grandezas são inversamente proporcionais, pois se aumentarmos o número de bombas estaremos reduzindo o tempo necessário para esvaziar o reservatório, vamos inverter a primeira grandeza:
Montando a proporção da regra de três temos:
Como já era de se esperar, ao dobrarmos o número de bombas, o tempo necessário para se esvaziar o tanque seria reduzido à metade, mas qual é a metade de 01 h 37 min 42 s?
Uma das formas de fazê-lo é transformarmos 01 h 37 min em minutos, dividirmos por 2 e então acrescentarmos à metade dos 42 s que ficaram de fora do cálculo.
Uma hora como sabemos equivale a 60 min, mais 37 min totalizam 97 min, a metade disto é portanto 48,5 min:
Sabemos que 0,5 min equivale a 30 s:
Logo a metade de 01 h 37 min 42 s é igual a 48 min 30 s mais a metade de 42 s.
Então:
Utilizando-se de duas bombas, o tempo necessário para esvaziar o reservatório é de 48 minutos e 51 segundos.
3) O piso de uma sala tem área de 36 m2. Para revestir esse piso foram usadas lajotas quadradas de 900 cm2 de área. Quantas dessas lajotas foram usadas?
Os conhecimentos necessários para a resolução deste problema giram em torno de sabermos realizar conversões entre os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado.
Neste caso podemos tanto transformar a área da sala de metros quadrados para centímetros quadrados, quanto transformarmos a área da lajota de centímetros quadrados para metros quadrados. Vamos escolher esta última possibilidade.
Na conversão de cm2 para m2 passamos 2 níveis da direita para a esquerda (primeiro de cm2 para dm2 e depois de dm2 para m2), sendo que a cada passagem realizamos uma divisão por 100:
Portanto 900 cm2 correspondem a 9 dm2 que correspondem a 0,09 m2.
Para sabermos quantas lajotas com 0,09 m2 são necessárias para revestir uma área de 36 m2, basta realizarmos a divisão da área da sala pela área da lajota:
Logo:
Foram usadas 400 dessas lajotas.
4) Numa gaveta há 15 colheres sendo: oito de cabo preto e sete de cabo branco. Qual a probabilidade de uma pessoa retirar, ao acaso, uma colher de cabo branco e uma de cabo preto, em duas retiradas sem reposição?
Neste problema temos a situação onde o o número de elementos do espaço amostral diminui a cada tentativa.
Inicialmente o espaço amostral, S, possui 15 elementos, n(S) =15 .
No evento E1 a probabilidade de retirarmos uma colher de cabo branco na primeira tentativa é:
Pois temos a possibilidade de pegar uma das 7 colheres de cabo branco dentre as 15 colheres na gaveta.
No evento E2 a probabilidade de retirarmos uma colher de cabo preto na tentativa seguinte é:
Perceba que na segunda tentativa o espaço amostral era uma unidade menor, pois tínhamos uma colher a menos na gaveta.
Então a probabilidade de primeiro retirarmos uma colher de cabo branco e em seguida retirarmos uma de cabo preto é:
Portanto:
A probabilidade de retirar ao acaso, uma colher de cabo branco e uma de cabo preto, em duas retiradas sem reposição é 4/15.
5) O custo da produção de tijolos, em milhares de reais, de m máquinas iguais, é calculado pela expressão C(m) = m2 - m + 2. Se o custo da produção foi de 44 mil reais, então, qual foi o número de máquinas utilizadas na produção?
Neste problema temos uma função quadrática onde conhecemos um elemento da imagem e queremos identificar o respectivo elemento do domínio.
O enunciado diz que C(m) = 44. Logo podemos expressar C(m) = m2 - m + 2 como:
Precisamos então obter as raízes da equação:
Os coeficientes para utilizarmos no cálculo do discriminante da equação são:
Calculando o discriminante temos:
Agora podemos recorrer à fórmula geral de resolução da equação do segundo grau:
Substituindo a, b e o discriminante temos:
Como o número de máquinas não pode se negativo, desconsideramos a raiz -6,
Então:
7 foi número de máquinas utilizadas na produção.
6) Jasão foi a uma loja e comprou X unidades de certo artigo, 10 < X < 100, ao preço de R$ 12,80 cada. Ao conferir na nota fiscal o valor a ser pago por essa compra, Jasão percebeu que o vendedor havia se enganado ao escrever o número X, que lá aparecia com os algarismos das unidades e das dezenas em posições trocadas, e que esse engano acarretava em um acréscimo ao valor que efetivamente ele deveria pagar. Se o valor marcado na nota fiscal era R$ 409,60, então o custo real da compra de Jasão era quanto?
Na resolução desta questão precisamos levar em conta como são formados os números no sistema de numeração decimal.
Além do fato de que 10 < X < 100, o enunciado também nos diz que no número X o dígito das dezenas é menor que o algarismo das unidades, pois se mudando a ordem dos dígitos, o valor a ser pago aumentou.
Até agora sabemos que X é um número com 2 algarismos, sendo o primeiro deles menor que o segundo.
De acordo com o sistema de numeração decimal o número 35 é formado por 3 dezenas e 5 unidades, portanto podemos dizer que 35 é igual a 3 · 10 + 5.
Levando este mesmo raciocínio para o número X, podemos dizer X = 10A + B, onde A representa o primeiro algarismo e B o segundo.
Como o preço unitário do produto é R$ 12,80 e como R$ 409,60 foi o preço total da nota com o problema da inversão dos algarismos, podemos representar estas informações através da seguinte equação:
O termo (10B + A) representa o número X com os algarismos trocados.
Vamos simplificar esta equação:
Agora vamos pensar analisando a equação obtida:
Assim como fizemos com o número X no primeiro termo, vamos fazer o mesmo com o número 32 no segundo termo, mas sem inverter os algarismos:
Vamos inverter os fatores do segundo termo, para compararmos melhor os dois membros da equação:
Podemos perceber que atribuindo 3 a B e 2 a A tornamos a equação verdadeira:
Se escolhêssemos um valor maior que 3 para B, o algarismo A teria que ser negativo, o que não é possível, para que a soma desse 32.
Se escolhêssemos um valor menor que 3 para B, o algarismo A teria que ser maior que 9, o que também não é possível.
Portanto A = 2 e B = 3, logo X = 23:
Como temos 23 produtos com preço unitário de R$ 12,80 o valor total será:
Logo:
O custo real da compra de Jasão era de R$ 294,40.
7) No mês de julho, houve um número X de nascimentos. No dia 1° de agosto, nasceram 15 bebês do sexo feminino, ficando o número de nascidos, até o momento, na razão de 5 homens para cada 4 mulheres. No dia 2 de agosto, nasceram 16 bebês do sexo masculino, ficando o número de nascidos na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Sendo assim, pode-se afirmar que, no mês de julho, nasceram quantos bebês?
No enunciado desta questão são descritas duas razões e como sabemos a igualdade entre razões é o que denominamos "proporção".
A partir dos detalhes do enunciado montaremos duas proporções e resolveremos um sistema de equações para identificarmos o número de nascimentos em julho.
Devemos ficar atentos à variável X contida no enunciado. Da forma como foi utilizada, tem por única função confundir aos mais desatentos. Ela poderia muito bem ser substituída pela palavra "determinado", tornando assim o enunciado mais claro, pois os dados que ele nos fornece nos dá condições de calcularmos separadamente quantos homens e quantas mulheres nasceram em julho.
Portanto ao invés de trabalharmos apenas com uma única variável X, vamos trabalhar com uma variável M representando o número de nascimentos de mulheres e a variável H representando o número de nascimentos de homens. Então em julho nasceram M + H bebês.
Como no dia 1° de agosto nasceram 15 bebês do sexo feminino, o que resultou até o momento na razão de 5 homens para cada 4 mulheres, temos que:
No dia 2 de agosto, nasceram 16 bebês do sexo masculino, ficando o número de nascidos na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Matematicamente podemos assim expressar esta informação:
Agora vamos isolar no primeiro membro as variáveis da primeira proporção:
Vamos fazer a mesma coisa em relação às variáveis da segunda proporção:
A partir das proporções iniciais chegamos ao seguinte sistema de equações:
Vamos resolvê-lo pelo método da adição, para isto a primeira equação será multiplicada por 3 e a segunda por -4:
Ao somarmos as equações iremos obter o valor de M:
Substituindo M por 177 na segunda equação temos:
Então o total de nascimentos em julho foi de:
Portanto:
Pode-se afirmar que no mês de julho nasceram 417 bebês.
8) Qual é a função de 1° grau que passa pelos pontos A(-2;0) e B(0;2)?
Para solucionarmos este problema precisamos conhecer a definição de uma função do primeiro grau e também sabermos como solucionar um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas.
Uma função do primeiro grau ou função afim é definida por:
a é o coeficiente da variável x e b é o termo constante.
Uma função do primeiro grau é uma função linear, pois representa a equação de uma reta.
Se tivermos dois pontos pertencentes a uma reta, seremos capazes de obter a sua equação. No caso deste problema temos os pontos A(-2;0) e B(0;2).
Para o ponto A(-2;0), com abscissa -2 e ordenada 0, temos que x = -2 e f(x) = 0:
Para o ponto B(0;2) temos que x = 0 e f(x) = 2:
Temos então o seguinte sistema de equações obtido a partir de dois pontos que passam pela reta:
Como o valor de b já é conhecido, basta substituí-lo na primeira equação:
Agora que conhecemos os valores de a e b para substituí-los:
Então:
É a função f(x) = x + 2 ou ainda y = x + 2.
9)
Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é 13/12. Qual é porcentagem de rapazes na festa?
Nesta questão trabalhamos com o conceito de razão e com o conceito de porcentagem.
Do texto "a razão entre o número de moças e o de rapazes é 13/12" retiramos que o número de moças é igual a 13 e o de rapazes é igual a 12, totalizando 25 jovens. Então o percentual de rapazes na festa é dado por:
Desenvolvendo os cálculos temos:
Logo:
A porcentagem de rapazes na festa é de 48%.
10) Qual é o suplemento do ângulo que excede o dobro do seu complemento em 30°?
Neste problema precisamos conhecer alguns conceitos sobre ângulos.
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas totaliza 90° e são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.
Podemos então dizer que o complemento do ângulo α é o ângulo 90 - α e que o suplemento do ângulo α é o ângulo 180 - α.
Com base nestas informações e também no enunciado, podemos escrever a seguinte equação:
Ela representa o ângulo que excede o dobro do seu complemento em 30°.
Vamos calcular o valor do ângulo α:
Já que o valor do ângulo α é 70°, o valor do seu suplemento é:
Então:
O suplemento do ângulo que excede o dobro do seu complemento em 30° é 110°.