Resolução Passo a Passo de Questões de Concursos Públicos - IX
1) Cientistas da Universidade de Hong Kong inventaram um papel de parede, que também é isolante acústico. Constituído basicamente de borracha, o revestimento tem 1,5 cm de espessura. Para revestir completamente uma parede retangular de 3 m de altura, foram utilizados 810 dm3 de papel de parede. Qual é, em metros, o comprimento dessa parede?
Na resolução desta questão precisamos saber como calcular o volume de um paralelepípedo, além de sabermos realizar conversões entre vários múltiplos e submúltiplos do metro.
Se chamarmos de c o comprimento da tal parede com 3 m de altura e como o revestimento tem uma espessura de 1,5 cm, podemos dizer que tal revestimento forma uma paralelepípedo com estas dimensões.
Como é solicitado que a resposta esteja em metros, vamos converter todas as medidas envolvidas para m ou m3 conforme o caso.
Já que o volume de papel utilizado foi de 810 dm3, para convertermos esta medida em m3, passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então 810 dm3 por 1000:
A espessura do papel é de 1,5 cm, que corresponde a 0,015 m, pois deslocamos dois níveis à esquerda, dividindo 1,5 por 10 duas vezes:
O volume do papel de parede utilizado pode ser obtido multiplicando-se as medidas c, 3 e 0,015, todas em metros e como já sabemos que este volume é de 0,810 m3, temos a seguinte equação:
A partir dela iremos identificar o comprimento do papel utilizado e consequentemente o comprimento da parede:
Portanto:
O comprimento dessa parede é 18 m.
2) Uma empresa aluga bicicletas para passeios na orla de certa cidade. O cliente paga R$ 12,00 pela primeira hora e mais R$ 2,00 a cada período de 15 minutos adicionais, completos ou não. Por exemplo, uma pessoa que utilizar a bicicleta por 1 h e 25 min pagará R$ 16,00 (a primeira hora mais dois períodos de 15 minutos). João alugou uma bicicleta e pagou R$ 22,00 pelo passeio, mas poderia ter passeado por mais 7 minutos pelo mesmo preço. Durante quanto tempo João utilizou a bicicleta?
Para solucionarmos esta questão necessitamos apenas recorrer a algumas poucas operações aritméticas, além de termos um pequeno conhecimento sobre medidas de tempo.
O fato de João ter gasto R$ 22,00, significa que ele alugou uma bicicleta por mais de uma hora, pois ultrapassou em R$ 10,00 os R$ 12,00 cobrados pela primeira hora.
Estes R$ 10,00 significam que João poderia utilizar a bicicleta por até 5 períodos de 15 minutos além da primeira hora:
Ou seja, estes 5 períodos de 15 minutos correspondem a 75 minutos:
Mas no último período de 15 minutos, 7 minutos deixaram de ser utilizados, logo ele utilizou apenas 68 minutos:
Ora, como 1 hora contém 60 minutos e nos períodos excedentes ele passeou por 68 minutos, isto significa que nestes períodos ele passeou por 60 + 8 minutos, isto é, 1 hora e 8 minutos.
Acrescentando a hora inicial, temos então que:
João utilizou a bicicleta por 2 h 8 min.
3) Uma loja de eletrodomésticos anunciou a seguinte promoção: "Pague em 15 prestações iguais, sem juros, ou, à vista, com 10% de desconto". Considere um fogão que pode ser pago em 15 prestações de p reais. O valor do desconto para quem comprar o mesmo fogão e optar pelo pagamento à vista será equivalente a qual fração de p?
A resolução desta questão requer um conhecimento básico sobre porcentagens e sobre a simplificação de frações.
Pago a prazo o fogão custará 15p reais, o desconto de 10% equivale a:
Agora basta simplificarmos a expressão:
Logo:
O valor do desconto será equivalente a 3/2p.
4) Certa empresa fabrica cartuchos para impressoras nos modelos padrão (com 5 ml de tinta) e econômico (com 12 ml de tinta). A empresa recebeu uma encomenda de 2.000 cartuchos e calculou que, se não houvesse desperdício, seriam necessários 18,4 litros de tinta para produzi-los. Quantos cartuchos do modelo econômico foram encomendados?
Este problema é resolvido através de um sistema de equações com duas incógnitas e também precisamos saber converter litros para mililitros.
Antes de montarmos o sistema de equações, vamos converter os 18,4 litros em mililitros, pois a capacidade dos cartuchos é medida em mililitros. Como 1 l equivale a 1000 ml temos que 18,4 l é igual a 18.400 ml:
Agora podemos montar o sistema, para isto chamaremos de p o modelo padrão e de e o modelo econômico.
Como a encomenda é de 2000 cartuchos, a primeira equação será expressa por:
Já a segunda equação será:
Significando que os dois tipos de cartuchos totalizarão 18.400 mililitros, com p cartuchos de 5 ml e outros e de 12 ml.
Temos então o seguinte sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas a resolver:
Como estamos interessados apenas no modelo econômico, isto é, na variável e, vamos multiplicar a primeira equação por -5 e somarmos as equações para obtermos o valor desta variável:
Portanto:
Foram encomendados 1.200 cartuchos do modelo econômico.
5) Um recipiente cilíndrico de 12 cm de raio e 20 cm de altura está cheio de água até a metade. Doze esferas maciças são colocadas dentro do recipiente, ficando totalmente imersas e, assim, o nível (altura) da água em seu interior passa a ser 13 cm. Qual é, em cm, o diâmetro de cada esfera?
Aqui precisamos saber como calcular o volume de alguns sólidos geométricos, mais especificamente o volume do cilindro e da esfera.
Sendo r a medida do raio da base de um cilindro e h a medida da sua altura, o seu volume é dado por:
Denominando r a medida do raio de uma esfera, seu volume é obtido através da expressão:
Como o recipiente cilíndrico está cheio de água pela metade, é fácil concluirmos que o nível da água é de 10 cm, pois a sua altura é de 20 cm.
Com a colocação das esferas o nível da água passou a ser de 13 cm, isto é, subiu 3 cm.
O volume destes 3 cm de água é igual a:
Conforme visto acima o volume de cada esfera é dado por:
Logo o volume das doze esferas será:
Como com a colocação das esferas o nível da água passou a ser de 13 cm, concluímos que o volume de água destes 3 cm a mais, corresponde justamente ao volume das doze esferas, então podemos igualar os dois volumes que calculamos acima:
Isolando r temos o raio de cada esfera:
Já que a medida do raio de uma circunferência é igual à metade da medida do diâmetro, o diâmetro será o dobro dos 3 cm de raio, assim sendo:
O diâmetro de cada esfera é 6 cm.
6) Um novo sal, inventado por cientistas norte-americanos, tem cristais com formato diferente do sal tradicional, o que aumenta a percepção do gosto salgado. Por isso, seu uso permitirá reduzir em 25% a quantidade de sal em batatinhas fritas de pacote sem comprometer seu sabor. A vantagem é que a quantidade de sódio diminuirá na mesma proporção, o que é bom para a saúde do consumidor. Atualmente, um pacote com 100 g de batatinhas fritas contém 680 mg de sódio. Substituindo-se o sal tradicional pelo novo sal, quantos miligramas de sódio haverá em um pacote com 250 g de batatinhas fritas?
Para solucionarmos esta questão iremos calcular quantos miligramas de sal contém 100 g de batatinhas fritas após a redução de 25% e depois montaremos uma proporção para descobrirmos a quantidade de sal em 250 g de batatinhas fritas.
Com a redução de 25% o teor de sódio em 100 g de batatinhas fritas passará de 680 mg para 510 mg:
Podemos agora montar uma regra de três ou proporção. Se 100 g de batatinhas estão para 510 mg de sódio, então 250 g de batatinhas estão para x mg de sódio:
Logo:
Haverá 1.275 miligramas de sal em um pacote com 250 g de batatinhas fritas.
7) O número de anagramas da palavra "jardim", que começam e terminam em consoante é igual a:
A resolução deste problema se baseia no cálculo de permutações simples.
Se quiséssemos saber o número total de anagramas formados a partir das letras da palavra jardim, bastaríamos calcular P6 que é igual a 6!, ou seja, igual a 720, pois estaríamos calculando o número total de permutações das 6 letras da palavra jardim, mas o enunciado nos faz algumas restrições:
Devem ser considerados apenas os anagramas que comecem e que também terminem em consoante.
Analisando a palavra jardim notamos que ela possui 4 consoantes, pois apenas as letras a e i são vogais.
Para começarmos um anagrama que comece em consoante temos 4 consoantes disponíveis.
Para também terminarmos o anagrama em consoante temos 3 consoantes disponíveis, pois uma delas já está sendo utilizada no começo.
Para as 4 letras restantes temos uma permutação das mesmas, ou seja, temos P4.
Em termos matemáticos podemos assim representar estas conclusões:
4 possibilidades de começarmos o anagrama em consoante, 4! referente às permutações das 4 letras centrais e 3 possibilidades de terminarmos o anagrama em consoante.
Calculando temos:
Neste ponto já encontramos a resposta do problema que é 288, mas e se a pergunta do problema fosse:
Qual o número de anagramas da palavra "jardim", que começam ou terminam em vogal?
De antemão posso lhe afirmar que é 432, pois esta é a diferença encontrada entre o número total de anagramas, que é igual a 720 e os 288 anagramas encontrados acima, que não começam nem terminam em vogal, mas como podemos obter diretamente os 432?
Não vou me estender muito nas explicações, pois são semelhantes às explicações acima.
Para obtermos o número de anagramas que começam em vogal temos:
A obtenção do número de anagramas que terminam em vogal é dada por:
Somando estes dois valores chegamos a 480 anagramas, mas só que tem um porém:
Dentre estes 480 anagramas há alguns que foram contados 2 vezes. Eles são os que começam e também terminam em vogal, ou seja, foram contados porque começam em vogal e foram contados novamente porque também terminam em vogal. Por isto precisamos subtrair tal quantidade do 480 anagramas, mas quantos são estes anagramas?
Repare que temos 2 possibilidades de começarmos o anagrama em vogal, 4! referente às permutações das 4 letras centrais e 1 possibilidade de terminarmos o anagrama em vogal.
Agora sim podemos encontrar a quantidade procurada:
Este segundo exemplo foi dado apenas para que você perceba o seguinte:
No problema original foi dito "começam e terminam", já na segunda questão foi dito "começam ou terminam". A simples troca de e para ou causa esta mudança toda na resolução de um problema. Fique atento!
288.
8) Um motociclista em uma determinada viagem, de posse de um GPS, anotou pontos que depois foram transferidos para um plano cartesiano, com as distâncias em km. Os pontos anotados corresponderam a: A(0,0); B(0,8) e C(6,8). Se o motorista saiu do ponto A e chegou ao ponto C, qual a distância entre o ponto de saída e o ponto de chegada?
O enunciado descreve os vértices de um triângulo retângulo que foram marcados em um plano cartesiano. A distância a calcular é a medida da hipotenusa deste triângulo.
A figura ao lado representa os pontos A, B e C, e o triângulo retângulo traçados no plano cartesiano.
A distância entre os pontos A e C, traçada em vermelho corresponde à hipotenusa do triângulo ABC e será obtida através do Teorema de Pitágoras:
Na figura observamos que 8 é a distância entre os pontos A e B, a qual iremos atribuir a variável b do teorema e à variável c iremos atribuir o valor 6 referente a distância entre os pontos B e C.
Substituindo as variáveis no teorema temos:
Então:
A distância entre o ponto de saída e o de chegada é de 10 km.
9) Paulo arremessou uma moeda 4 vezes. A probabilidade de sair 3 caras é igual a quantos por cento?
Neste problema temos 4 arremessos independentes com resultados aleatórios e com probabilidade de sucesso sempre igual a 50% em cada arremesso. Em função destas propriedades vamos recorrer à distribuição binomial para solucioná-lo.
Na parte teórica sobre a distribuição binomial vimos que a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n arremessos, é obtida através do termo geral do Binômio de Newton:
De acordo com o enunciado da questão k = 3 e n = 4, isto é, 3 sucessos em 4 arremessos.
A probabilidade de sucesso em cada arremesso, representada por p, é neste caso igual a 1/2, pois das duas possibilidades, cara ou coroa, ocorrerá apenas uma, isto é, temos uma possibilidade em duas o que nos dá uma probabilidade de sucesso igual a 1/2.
Como temos apenas sucesso ou fracasso, se a probabilidade de sucesso é igual a 1/2 então a probabilidade de fracasso será 1 - 1/2, ou seja, também será igual a 1/2. Este é o valor da probabilidade de fracasso q.
é a combinação simples de n elementos distintos, agrupados k a k, com k ≤ n:
Vamos ao cálculo do número binomial:
Como vamos calcular a probabilidade que estamos em busca:
0,25 multiplicado por 100% é igual a 25%.
Logo:
A probabilidade de sair 3 caras em 4 arremessos é igual a 25%.
10) 7 ciclistas estão disputando uma competição. Qual o número de possibilidades para os três primeiros colocados?
No caso deste problema a ordem os participantes é importante, pois invertendo-se a ordem dos participantes teremos um outro grupo. Para solucioná-lo iremos utilizar a fórmula do arranjo simples:
n se refere ao número de ciclistas, portanto n = 7.
p = 3 pois está associado às três primeiras posições.
Substituindo os valores na fórmula temos:
Sem utilizarmos a fórmula do arranjo simples poderíamos resolvê-lo assim:
Para a primeira posição temos 7 possibilidades, ou seja, todos os ciclistas.
Para a segunda posição temos apenas 6 possibilidades, pois um ciclista já está na primeira posição.
Finalmente para a terceira posição temos somente 5 possibilidades, pois dois ciclistas já estão nas duas posições anteriores.
Multiplicando tudo temos:
Portanto:
O número de possibilidades para os três primeiros colocados é de 210.