Máximo Divisor Comum - MDC
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se máximo divisor comum (MDC) o maior número que é divisor de todos eles.
Entenda por divisor, um número natural não nulo, que ao dividir um outro número natural, produz uma divisão com resto igual a zero, isto é, produz uma divisão exata.
Com este sentido, o conjunto dos números formados pelos divisores de um número natural qualquer é um conjunto finito.
Caso o número 1 seja o único divisor comum a um conjunto de números naturais, dizemos que os números deste conjunto são primos entre si.
Divisores de um Número Natural e o seu MDC
Analisemos os números naturais 108, 135 e 63. Seus divisores são respectivamente:
- { 1, 3, 4, 9, 12, 27, 36, 108 }
- { 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 }
- { 1, 3, 7, 9, 21, 63 }
De todos os divisores que cada um dos números possui, o número 9 é o maior deles que é comum a todos os três.
Temos então que:
MDC(108, 135, 63) = 9
Como descobrir o MDC de um conjunto de números?
Um método prático para se determinar o MDC de um grupo de números naturais é a fatoração.
Para podermos comparar o resultado obtido pelo método acima e o obtido pela fatoração, vamos utilizar de novo os números 108, 135 e 63 como exemplo.
Tópico relacionadoDecomposição de um Número Natural em Fatores Primos
Da fatoração deles nós temos que:
- 108 = 33 . 4
- 135 = 33 . 5
- 63 = 32 . 7
O MDC(108, 135, 63) é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.
No caso apenas o fator 3 é comum a todos eles, mas tomemos o 32, pois é o que possui o menor expoente.
Logo:
MDC(108, 135, 63) = 32 = 9
Calculando o MDC entre dois números pelo método das divisões sucessivas
Este método consiste em se dividir o maior número pelo menor. Se a divisão for exata, então o número menor será o MDC entre os dois números. Se não for, então o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passará a ser o novo divisor.
Se desta vez a divisão for exata, então o divisor atual será o MDC, se não for, repete-se o processo, o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passa a ser o novo divisor e assim vai até que a divisão seja exata, neste momento o divisor atual será o máximo divisor comum entre os dois números.
Para a exemplificar vamos utilizar os números naturais 80 e 288:
Dividindo 288, que é o maior deles, por 80, teremos 48 como resto da divisão, então devemos continuar o processo.
Agora dividiremos 80 pelo resto 48 e como novo resto iremos obter 32, como a divisão ainda não foi exata, continuamos o processo.
Dividiremos então 48 por 32, cujo resto é 16, o que nos obriga a continuar o processo.
Desta vez dividiremos 32 por 16. Agora a divisão é exata, então o MDC(80, 288) = 16.
Note que por este método só é possível o cálculo do MDC entre dois números. Se você precisar calcular o máximo divisor comum dentre três ou mais números, o ideal é apurar o MDC entre os dois menores e depois ir calculando o máximo divisor entre o MDC atual e o próximo número na ordem ascendente até terminar, ou até que encontre um MDC igual a 1. Por exemplo, o MDC(24, 80, 242) deve ser calculado assim:
Primeiro calcule MDC(24, 80) que é igual a 8, finalmente calcule MDC(8, 242) que é igual a 2.
Para melhor fixação destes conceitos, faça os cálculos por este método e confira o resultado.
Exemplos de MDC
Qual é o MDC(15, 75, 105)?
Fatorando os três números temos:
- 15 = 3 . 5
- 75 = 3 . 52
- 105 = 3 . 5 . 7
Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 15, quanto para o número 75 e para o 105, mas o consideramos uma única vez. De forma análoga agimos em relação ao fator 5.
MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15
Portanto:
O MDC(15, 75, 105) é igual 15
Qual é o MDC(100, 150, 200, 250)?
Da Fatoração dos quatro números temos:
- 100 = 22 . 52
- 150 = 2 . 3 . 52
- 200 = 23 . 52
- 250 = 2 . 53
Os fatores 2 e 5 são comuns aos quatros números. O menor expoente do 2 é 1 e do 5 é 2. Assim:
MDC(100, 150, 200, 250) = 2 . 52 = 50
Logo:
O MDC(100, 150, 200, 250) é igual a 50
Qual é o MDC(25, 16)?
A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:
Não há fatores comuns, já que 25 e 16 são primos entre si, então:
MDC(25, 16) = 1
Portanto:
O MDC(25, 16) é o número 1.
