Exercícios resolvidos - Critérios de Divisibilidade
Para maiores informações teóricas sobre este assunto veja também:Critérios de Divisibilidade
1) Se um número natural n for dividido por 27, o resto desta divisão será igual a 7. Se dividirmos o número n + 50 também por 27, qual será o resto obtido?
O resto da divisão de 50 por 27 é igual a 23.
Já o resto da divisão de n por 27 é igual a 7.
Ao somarmos 23 com 7 obtemos 30, o resto da divisão de 30 por 27 é igual a 3.
Você pode também pensar da seguinte forma:
Originalmente como o resto era igual a 7, isto significa dizer que para se obter o próximo número divisível por 27, era necessário que se acrescentasse 20 a ele, como foi acrescentado 50, que é igual a 20 + 27 + 3, pode-se dizer que ao acrescentarmos 20, o resultado obtido era divisível por 27, ao acrescentarmos mais 27, obviamente o número ainda continuou divisível por 27, mas ao finalmente ao acrescentarmos 3, este passou a ser o resto da divisão de n + 50 por 27.
Portanto:
Ao dividirmos o número n + 50 por 27 o resto obtido será igual a 3.
2) Qual é o menor número que devemos subtrair de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9?
Um número que ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9, é divisível tamtém por 5 . 9, ou seja, é divisível por 45.
O número 61577 seria divisível por 45 se o resto da divisão fosse igual a zero, como não é, o que precisamos fazer então é subtrair de 61577 este resto, para que ele se torne um número divisível por 45.
Você poderia ter interpretado o enunciado deste exercício como sendo: Qual é o resto da divisão de 61577 por 45?
61577 dividido por 45 é igual a 1368, com um resto de 17.
Logo:
Devemos subtrair 17 de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9.
3) Qual é o menor número que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7?
Este problema é semelhante ao anterior, mas há uma pequena diferença.
25013 dividido por 21, o produto de 3 por 7, é igual a 1191, com um resto de 2.
Se subtrairmos 2 de 25013, o resultado será um número divisível por 21, mas o enunciado diz que devemos adicionar e não subtrair, então devemos acrescentar 19, que é o resultado de 21 - 2, para obtermos o próximo número após 25013, que assim como ele também será divisível por 21.
Assim sendo:
Devemos adicionar 19 a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7.
4) Qual valor devemos atribuir a x, o último dígito do número 38748x para que ele se torne um número divisível por 6, mas não divisível por 2?
Sabemos que todo número divisível por 6, é também divisível por 2.
Portanto:
Tal valor não existe, pois todo número divisível por 6 é também divisível por 2.
5) Qual é o menor número com dois dígitos que somado a 12345 o tornará um número divisível por nove?
Ao somarmos 1 + 2 + 3 + 4 + 5, os algarismos de 12345, obtemos 15, que dividido por nove tem um resto de 6. Isto quer dizer que 12345 dividido por seis apresenta o mesmo resto.
Devemos então encontrar o menor múltiplo de nove com dois dígitos, que ao ser subtraído em seis unidades ainda continue com dois algarismos.
Quando falamos em número com dois dígitos, obviamente estamos falando em algarismos significativos, já que 06, por exemplo, possui dois dígitos, mas o primeiro deles não é significativo.
Este número é o número 18, que menos 6 é igual a 12.
Então:
O menor número com dois dígitos que somado a 12345 o tornará um número divisível por nove é o número 12.
6) Sendo x e y algarismos do número 32x84y, qual deve ser o menor valor atribuído a cada uma destas variáveis, tal que 32x84y seja simultaneamente divisível por 3 e por 5?
Para que seja divisível por 5, y deve ser igual a 0 ou a 5. Obviamente escolheremos 0 pois é o menor.
Somando os algarismos conhecidos temos: 3 + 2 + 8 + 4 + 0 = 17
Após 17, o próximo número divisível por três é o 18, portanto devemos atribuir 1 a x.
Logo:
x = 1, y = 0.
7) Sendo x e y os dois últimos dígitos do número 1xy, qual deve ser o maior valor atribuído a eles de sorte que o número resultante seja tanto divisível por 5 e por 6?
Para que seja divisível por 5, y deve ser igual a 0 ou a 5, mas como o número precisa ser par, para que seja também divisível por seis, só nos resta o dígito 0.
Temos então o número 1x0. Como 1 + 0 = 1, o maior dígito que podemos somar a ele de sorte a obtermos um número divisível por três e consequentemente por seis já que y é par, é o dígito 8.
Portanto:
x = 8, y = 0.
8) Qual é o menor número ímpar com cinco dígitos que é divisível por 50?
Todos os múltiplos de 50 são pares, pois podemos expressar cinquenta como 2 . 25.
Portanto:
Não existe um número natural ímpar, qualquer que seja a sua quantidade de algarismos, que seja divisível por 50.
9) Qual é o maior número com três dígitos que é divisível por 4 e também por 5?
Os números divisíveis por quatro e também por cinco são todos terminados em 00, 20, 40 e 80.
Como não importa o primeiro dígito, o maior número com três dígitos, obviamente significativos, é o número 980.
Portanto:
980 é o maior número com três dígitos que é divisível por 4 e também por 5.
10) Um número é divisível por 9 e por 5. Se somarmos 315 a este número ele ainda continuará divisível por 9 e por 5?
Sabemos que se a um número a divisível por n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, o número resultante continuará sendo divisível por n. Como 315 também é divisível por 5 e por 9, tal soma não afetará em nada a divisibilidade por tais números.
Portanto:
Sim, se adicionarmos 315 a este número ele ainda continuará sendo divisível por 9 e por 5.
