Questão Resolvida do ENEM de 23 de Outubro de 2011

Número da Questão segundo a Cor do Caderno:

 158  »  157  »  155  »  163 

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

  • A) 1 000 m.
  • B) 1 000 m.
  • C) 2 000 m.
  • D) 2 000 m.
  • E) 2 000 m.

 

Este problema testa os conhecimentos do estudante sobre ângulos, como por exemplo: Conhecimentos sobre a medida dos ângulos internos de um triângulo, sobre os ângulos suplementares e também sobre os ângulos notáveis da trigonometria.

A menor distância do barco até o ponto fixo P, sendo mantida a sua trajetória, será a medida do segmento de reta em vermelho na figura ao lado, perpendicular à sua trajetória:

Os enunciado nos fornece as informações que inserimos nesta outra figura abaixo:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Nesta nossa figura o suplemento do ângulo de 60° é um ângulo de 120°:

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo totaliza 180°, o outro ângulo interno deste triângulo também tem a medida de 30°:

Visto que os ângulos A e P são congruentes, a medida do segmento AB é igual à medida do segmento BP

Da trigonometria temos que:

O ângulo de 60° é um ângulo notável cujo valor do seno deve ser de nosso conhecimento:

Como e , temos que:

RespostaB é a alternativa correta.

 

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 » Esta e as demais questões do ENEM de outubro de 2011 foram reproduzidas do Portal do INEP.
 » As resoluções são uma contribuição do Matemática Didática.