Neste tópico vamos fazer o estudo do sinal da função quadrática e como fizemos no estudo da função afim, primeiramente vamos ver como calcular os zeros da função.

Zero ou Raiz da Função Polinomial do 2° Grau

Dada uma função quadrática definida por , com , e , temos que o zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, é o valor de x que resulta em y = 0.

Vamos analisar o gráfico da função que pode ser visto ao lado:

Notamos que nos pontos (1, 0) e (3, 0), pertencente ao gráfico da função, temos o valor de x, que é 1 no primeiro ponto e 3 no segundo, anulando a função, isto é, cuja ordenada (y) é igual a zero. Então x = 1 e x = 3 são raízes da função.

No caso da função analisada vimos que a mesma possui duas raízes reais distintas, mas como veremos a seguir, uma função quadrática também pode possuir apenas uma raiz real, ou ainda não possuir qualquer raiz real.

Quando o elemento 0 não pertence ao conjunto imagem da função, esta não possui qualquer raiz, graficamente a parábola na corta o eixo das abscissas.

Quando o elemento 0 pertence ao conjunto imagem da função e todos os demais elementos da imagem são positivos ou todos os demais elementos são negativos, então a parábola apenas tangencia o eixo das abscissas e por isto a função tem somente uma raiz real.

Determinando as Raízes de uma Função Polinomial do 2° Grau

Vamos determinar algebricamente a raiz da função cujo gráfico temos acima.

Para que um valor x seja raiz da função, é necessário que f(x) = 0.

Realizando tal substituição na lei de formação da função temos:

Como a equação encontrada é uma equação do segundo grau, para determinarmos os valores de x que são raízes da função, basta encontrarmos as raízes desta equação:

Como era previsto, 3 e 1 são os valores de x que tornam y = 0. No gráfico os pontos (1, 0) e (3, 0) são os pontos representantes das raízes desta função.

Em resumo para encontrarmos as raízes de uma função quadrática basta substituirmos o f(x) ou y da lei de formação da função, por 0 e solucionarmos a equação do segundo grau encontrada, chegando assim às raízes da função, obviamente se existirem.

Estudo do Sinal de uma Função Quadrática

Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2° grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo.

Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma Função Quadrática

Como vimos acima para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo.

Ao iniciarmos os estudos das funções polinomiais do 2° grau vimos que a direção da concavidade da parábola depende diretamente do coeficiente a da sua regra de associação.

Em função das raízes da função e da direção da concavidade da parábola temos seis possíveis situações distintas:

Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima

Neste caso temos duas raízes reais distintas x₁ e x₂, sendo x₁ < x₂.

A parábola corta o eixo das abscissas em dois pontos.

Temos o seguinte estudo da variação do sinal da função:

A função é negativa para .

A função é nula para .

A função é positiva para .

Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Baixo

Neste caso também temos duas raízes reais distintas x₁ e x₂, sendo x₁ < x₂.

A parábola igualmente corta o eixo das abscissas em dois pontos distintos.

Neste e no caso anterior temos que Δ > 0.

Estudando a variação do sinal da função temos:

A função é negativa para .

A função é nula para .

A função é positiva para .

Função com Uma Raiz Real e Concavidade Voltada para Cima

Nesta situação temos apenas uma raiz real x_v que é a abscissa do vértice da parábola.

A parábola apenas tangencia o eixo das abscissas.

Temos o seguinte estudo da variação do sinal da função:

A função é nula para .

A função é positiva para .

Função com Uma Raiz Real e Concavidade Voltada para Baixo

Nesta outra situação também temos apenas uma raiz real x_v correspondente a abscissa do vértice da parábola.

A parábola novamente apenas tangencia o eixo das abscissas.

Neste e no caso acima temos que Δ = 0.

O estudo da variação do sinal da função é o seguinte:

A função é nula para .

A função é negativa para .

Função sem Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima

Agora não temos qualquer raiz real.

A parábola não corta nem tangencia o eixo das abscissas em nenhum ponto.

O estudo da variação do sinal da função é então:

A função é positiva para .

Função sem Raízes Reais e Concavidade Voltada para Baixo

No sexto e último caso também não temos nenhuma raiz real.

A parábola igualmente não corta nem tangencia o eixo das abscissas em nenhum ponto.

Neste e no caso anterior temos que Δ < 0, além disto nestes casos o sinal a função é sempre igual ao sinal do coeficiente a.

O estudo da variação do sinal da função é:

A função é negativa para .