Tábua de Logaritmos Decimais

Ao estudarmos os logaritmos decimais aprendemos o que vem a ser a sua característica e a sua mantissa. Vimos também como a característica pode ser obtida.

No estudo de agora vamos tratar a mantissa dos logaritmos decimais.


Mantissa

Os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si somente pela posição da vírgula, têm em comum a mesma mantissa.

Esta propriedade torna possível a criação de uma tabela para a obtenção da mantissa de um logaritmo decimal.

Como já vimos, a característica de um logaritmo decimal pode facilmente ser obtida.

Foi visto no estudo dos logaritmos decimais que a mantissa do log 0,000504 é igual a 702431, mas como tal valor pode ser obtido a partir da tabela?


Como Utilizar uma Tábua de Logaritmos Decimais

Mais abaixo você encontra uma tábua de logaritmos decimais, que na verdade trata-se de uma tabela contendo não logaritmos, mas somente mantissas de logaritmos na base dez.

No entanto você pode interpretar esta tábua como sendo a tabela dos logaritmos de 1,00 a 9,99, cujas características (0) foram omitidas.

Para obtermos a mantissa do log 0,000504 através da tabela, vamos transformar o número 0,000504 em um número de três algarismos, entre 1,00 e 9,99, simplesmente mudando a posição da vírgula para a direita do primeiro algarismo diferente de zero:

Agora vamos separar o 5,04 em duas partes. O terceiro algarismo (4) será utilizado para identificarmos a coluna na tabela e o número 50, formado pela outra parte (5,0) sem a vírgula, será utilizado para identificar a linha da mantissa na tabela.

Procurando na tabela vemos que no cruzamento da linha 50 com a coluna 4 temos exatamente a mantissa 702431.

Note na linha 50 estão as mantissas dos números de três algarismos de 5,00 a 5,09. A mantissa do número 5,04 está justamente na coluna 4.

Esta é a mantissa do log 0,000504 e de qualquer outro número que difira de 0,000504 apenas pela posição da vírgula, como 0,0504, 5,04, 504, 50400, ...

Obviamente embora possuam a mesma mantissa, cada um destes cinco números possui uma característica distinta dos demais, respectivamente , , , e .

EnunciadoQual é a mantissa do log 2?

Estamos procurando pelo log 2, ou para facilitar, pelo log 2,00 que possui três algarismos.

Pesquisaremos na linha 20, pois é nesta linha que estão as mantissas dos números de três algarismos de 2,00 a 2,09.

Faremos a busca na coluna 0, pois este é o terceiro algarismo de 2,00.

Então no cruzamento da linha 20 com a coluna 0 temos que a mantissa do log 2 é igual a do 301030 .

EnunciadoQual é a mantissa do log 123?

Já que esta tábua se refere à mantissa dos logaritmos de 1,00 a 9,99, e que 1,23 e 123 diferem entre si apenas pela posição da vírgula, então podemos indistintamente procurar pela mantissa do logaritmo de 1,23 ou 123.

Por conveniência vamos procurar pela mantissa do logaritmo de 1,23.

Pesquisaremos na linha 12 onde estão as mantissas dos números de três algarismos de 1,20 a 1,29.

Como o terceiro algarismo de 1,23 é o 3, pegaremos a mantissa no cruzamento da linha 12 com a coluna 3.

Então a mantissa do log 123 é 089905.

EnunciadoQual é a mantissa do log 51?

Sem segredo, vamos procurar pela mantissa do log 5,10 que se encontra no cruzamento da linha 51 com a coluna 0, que é 707570.

Vale lembrar que log 5,10 = 2,707570 e log 51 = 1,707570.

Apenas para fixar os conceitos, na linha 51 se encontram as mantissas dos números de três algarismos de 5,10 a 5,19.

EnunciadoQual é a mantissa do log 17,7?

Também é simples, procuremos pela mantissa do log 1,77 que se encontra no cruzamento da linha 17 com a coluna 7, que é 247973, a mesma do log 17,7.


Tábua de Logaritmos Decimais

Esta tabela possui uma precisão de seis casas decimais.

Nos casos em que a sétima casa decimal é igual ou superior a 5, a mantissa foi arredondada somando-se 1 ao sexto algarismo.

N0123456789
10 000000  004321  008600  012837  017033  021189  025306  029384  033424  037426 
11 041393  045323  049218  053078  056905  060698  064458  068186  071882  075547 
12 079181  082785  086360  089905  093422  096910  100371  103804  107210  110590 
13 113943  117271  120574  123852  127105  130334  133539  136721  139879  143015 
14 146128  149219  152288  155336  158362  161368  164353  167317  170262  173186 
15 176091  178977  181844  184691  187521  190332  193125  195900  198657  201397 
16 204120  206826  209515  212188  214844  217484  220108  222716  225309  227887 
17 230449  232996  235528  238046  240549  243038  245513  247973  250420  252853 
18 255273  257679  260071  262451  264818  267172  269513  271842  274158  276462 
19 278754  281033  283301  285557  287802  290035  292256  294466  296665  298853 
20 301030  303196  305351  307496  309630  311754  313867  315970  318063  320146 
21 322219  324282  326336  328380  330414  332438  334454  336460  338456  340444 
22 342423  344392  346353  348305  350248  352183  354108  356026  357935  359835 
23 361728  363612  365488  367356  369216  371068  372912  374748  376577  378398 
24 380211  382017  383815  385606  387390  389166  390935  392697  394452  396199 
25 397940  399674  401401  403121  404834  406540  408240  409933  411620  413300 
26 414973  416641  418301  419956  421604  423246  424882  426511  428135  429752 
27 431364  432969  434569  436163  437751  439333  440909  442480  444045  445604 
28 447158  448706  450249  451786  453318  454845  456366  457882  459392  460898 
29 462398  463893  465383  466868  468347  469822  471292  472756  474216  475671 
30 477121  478566  480007  481443  482874  484300  485721  487138  488551  489958 
31 491362  492760  494155  495544  496930  498311  499687  501059  502427  503791 
32 505150  506505  507856  509203  510545  511883  513218  514548  515874  517196 
33 518514  519828  521138  522444  523746  525045  526339  527630  528917  530200 
34 531479  532754  534026  535294  536558  537819  539076  540329  541579  542825 
35 544068  545307  546543  547775  549003  550228  551450  552668  553883  555094 
36 556303  557507  558709  559907  561101  562293  563481  564666  565848  567026 
37 568202  569374  570543  571709  572872  574031  575188  576341  577492  578639 
38 579784  580925  582063  583199  584331  585461  586587  587711  588832  589950 
39 591065  592177  593286  594393  595496  596597  597695  598791  599883  600973 
40 602060  603144  604226  605305  606381  607455  608526  609594  610660  611723 
41 612784  613842  614897  615950  617000  618048  619093  620136  621176  622214 
42 623249  624282  625312  626340  627366  628389  629410  630428  631444  632457 
43 633468  634477  635484  636488  637490  638489  639486  640481  641474  642465 
44 643453  644439  645422  646404  647383  648360  649335  650308  651278  652246 
45 653213  654177  655138  656098  657056  658011  658965  659916  660865  661813 
46 662758  663701  664642  665581  666518  667453  668386  669317  670246  671173 
47 672098  673021  673942  674861  675778  676694  677607  678518  679428  680336 
48 681241  682145  683047  683947  684845  685742  686636  687529  688420  689309 
49 690196  691081  691965  692847  693727  694605  695482  696356  697229  698101 
50 698970  699838  700704  701568  702431  703291  704151  705008  705864  706718 
51 707570  708421  709270  710117  710963  711807  712650  713491  714330  715167 
52 716003  716838  717671  718502  719331  720159  720986  721811  722634  723456 
53 724276  725095  725912  726727  727541  728354  729165  729974  730782  731589 
54 732394  733197  733999  734800  735599  736397  737193  737987  738781  739572 
55 740363  741152  741939  742725  743510  744293  745075  745855  746634  747412 
56 748188  748963  749736  750508  751279  752048  752816  753583  754348  755112 
57 755875  756636  757396  758155  758912  759668  760422  761176  761928  762679 
58 763428  764176  764923  765669  766413  767156  767898  768638  769377  770115 
59 770852  771587  772322  773055  773786  774517  775246  775974  776701  777427 
60 778151  778874  779596  780317  781037  781755  782473  783189  783904  784617 
61 785330  786041  786751  787460  788168  788875  789581  790285  790988  791691 
62 792392  793092  793790  794488  795185  795880  796574  797268  797960  798651 
63 799341  800029  800717  801404  802089  802774  803457  804139  804821  805501 
64 806180  806858  807535  808211  808886  809560  810233  810904  811575  812245 
65 812913  813581  814248  814913  815578  816241  816904  817565  818226  818885 
66 819544  820201  820858  821514  822168  822822  823474  824126  824776  825426 
67 826075  826723  827369  828015  828660  829304  829947  830589  831230  831870 
68 832509  833147  833784  834421  835056  835691  836324  836957  837588  838219 
69 838849  839478  840106  840733  841359  841985  842609  843233  843855  844477 
70 845098  845718  846337  846955  847573  848189  848805  849419  850033  850646 
71 851258  851870  852480  853090  853698  854306  854913  855519  856124  856729 
72 857332  857935  858537  859138  859739  860338  860937  861534  862131  862728 
73 863323  863917  864511  865104  865696  866287  866878  867467  868056  868644 
74 869232  869818  870404  870989  871573  872156  872739  873321  873902  874482 
75 875061  875640  876218  876795  877371  877947  878522  879096  879669  880242 
76 880814  881385  881955  882525  883093  883661  884229  884795  885361  885926 
77 886491  887054  887617  888179  888741  889302  889862  890421  890980  891537 
78 892095  892651  893207  893762  894316  894870  895423  895975  896526  897077 
79 897627  898176  898725  899273  899821  900367  900913  901458  902003  902547 
80 903090  903633  904174  904716  905256  905796  906335  906874  907411  907949 
81 908485  909021  909556  910091  910624  911158  911690  912222  912753  913284 
82 913814  914343  914872  915400  915927  916454  916980  917506  918030  918555 
83 919078  919601  920123  920645  921166  921686  922206  922725  923244  923762 
84 924279  924796  925312  925828  926342  926857  927370  927883  928396  928908 
85 929419  929930  930440  930949  931458  931966  932474  932981  933487  933993 
86 934498  935003  935507  936011  936514  937016  937518  938019  938520  939020 
87 939519  940018  940516  941014  941511  942008  942504  943000  943495  943989 
88 944483  944976  945469  945961  946452  946943  947434  947924  948413  948902 
89 949390  949878  950365  950851  951338  951823  952308  952792  953276  953760 
90 954243  954725  955207  955688  956168  956649  957128  957607  958086  958564 
91 959041  959518  959995  960471  960946  961421  961895  962369  962843  963316 
92 963788  964260  964731  965202  965672  966142  966611  967080  967548  968016 
93 968483  968950  969416  969882  970347  970812  971276  971740  972203  972666 
94 973128  973590  974051  974512  974972  975432  975891  976350  976808  977266 
95 977724  978181  978637  979093  979548  980003  980458  980912  981366  981819 
96 982271  982723  983175  983626  984077  984527  984977  985426  985875  986324 
97 986772  987219  987666  988113  988559  989005  989450  989895  990339  990783 
98 991226  991669  992111  992554  992995  993436  993877  994317  994757  995196 
99 995635  996074  996512  996949  997386  997823  998259  998695  999131  999565 
N0123456789

Disponibilizamos também um arquivo PDF com esta tábua de logaritmos decimais para download, assim você poderá imprimi-la em apenas uma folha se assim desejar, utilizando as duas faces da mesma.


Obtendo a Mantissa por Interpolação Linear

Aprendemos que podemos obter, a partir da tabela acima, a mantissa do logaritmo de qualquer número real positivo, que após a colocação da vírgula à direita do primeiro algarismo diferente de zero, resulte em um número com até três algarismos, mas como obter a mantissa do log 35,79 por exemplo?

O log 35,79 é maior que o log 35,7 e menor que o log 35,8.

Como o log 35,7 e o log 35,8 nós temos condição de obter em função da tabela, pois eles têm três algarismos, então através de uma interpolação linear podemos montar a seguinte equação:

Recorrendo à tabela e aplicando os conhecimentos adquiridos na série de artigos sobre logaritmos, temos que log 35,7 = 1,552668 e log 35,8 = 1,553883, o que nos permitir calcular o valor de x:

Agora temos como calcular aproximadamente o log 35,79 e obtermos a sua mantissa:

Como estamos trabalhando com apenas seis casas decimais, podemos arredondar 1,5537615 para 1,553762, então o log 35,79 = 1,553762.

Finalmente, a mantissa do log 35,79 calculada através de interpolação linear é 553762.