Operações com Números Complexos

No estudo dos números reais vimos como realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Agora vamos tratar cada uma destas operações trabalhando com os números complexos na forma algébrica.


Adição de Números Complexos

No artigo sobre polinômios vimos como realizar a redução de termos semelhantes.

Tratando os números complexos como binômios, podemos realizar a sua soma reduzindo os termos semelhantes como no exemplo abaixo:

Como você pode perceber, isto é equivalente a somarmos separadamente as suas partes reais e imaginárias.


Exemplos da Adição de Números Complexos


Subtração de Números Complexos

A subtração é realizada tal qual a adição, através da redução dos termos semelhantes, ou ainda subtraindo separadamente as partes reais e as partes imaginárias.


Exemplos da Subtração de Números Complexos


Multiplicação de Números Complexos

Realizamos a multiplicação de números complexos tratando-os como binômios e os multiplicando como tal, ou seja, multiplicando cada termo do primeiro binômio por cada termo do segundo:

Note que o último termo é 10i2 e visto que , logo i2 = -1, o que nos permite continuar os cálculos substituindo i2 por -1:

Portanto:


Exemplos da Multiplicação de Números Complexos








Divisão de Números Complexos

A divisão de números complexos é realizada multiplicando o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor.

Observe no último exemplo de multiplicação acima que ao multiplicarmos o número imaginário 5 + 8i pelo seu conjugado 5 - 8i obtivemos como resultado o número real 89.

A multiplicação de um número imaginário pelo seu conjugado sempre resulta em um número real e isto pode ser utilizado para realizar a divisão de números complexos.

Agora vejamos este exemplo de divisão:

Para começar vamos multiplicar o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor como explicado acima:

Para realizar o produto no denominador vamos recorrer aos produtos notáveis, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos, onde temos que:

Continuando o processo da divisão temos:

Note que inicialmente tínhamos o divisor imaginário 2 - 7i e no final temos o divisor real 53. É por isto que utilizamos o conjugado como expediente para realizar a divisão, assim conseguimos transformar um divisor imaginário em um divisor real, o que facilita muito as coisas, como pudemos ver na passagem do penúltimo para o último passo.


Exemplos da Divisão de Números Complexos