Propriedades da Adição e da Multiplicação

Neste artigo estudamos algumas das principais propriedades envolvendo a adição e a multiplicação no conjunto dos números reais.


Propriedade Comutativa


Adição: a + b = b + a

Quanto à adição temos que a ordem das parcelas não altera o total.

Veja a igualdade abaixo:

7 + 4 = 4 + 7

A soma dos termos do primeiro membro totaliza 11, que é o mesmo total obtido ao somarmos os termos do segundo membro.

Ainda que as parcelas estejam dispostas em ordem distinta, note que não houve divergência nas somas.


Multiplicação: a . b = b . a

Quanto à multiplicação temos que a ordem dos fatores não altera o produto.

Observe a seguinte igualdade:

. 5 = 5 . 4

O produto dos fatores do primeiro membro é igual a 20, justamente o mesmo produto da multiplicação dos termos do segundo membro.

Mesmo com os fatores em outra ordem o produto obtido é o mesmo.


Propriedade Associativa


Adição: (a + b) + c = a + (b + c)

Ao associarmos algumas parcelas o total fica inalterado.

Vamos analisar o exemplo abaixo:

(7 + 4) + 5 = 4 + (5 + 7)

Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primeiramente as operações contidas em seu interior, então temos que esta expressão é equivalente a esta outra expressão:

11 + 5 = 4 + 12

Como podemos observar, o fato de associarmos algumas parcelas não causou variação no total, pois continuamos com a mesma soma 16 em ambos os membros da igualdade.


Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c)

A associação de alguns fatores não altera o produto.

Vejamos este outro exemplo:

(7 . 4) . 5 = 4 . (5 . 7)

Efetuando as multiplicações entre parênteses temos:

28 . 5 = 4 . 35

Observe que em ambos os membros o produto continua sendo igual a 140.


Propriedade Distributiva


Multiplicação: a . (b + c) = a . b + a . c, (b + c) . a = b . a + c . a

Segundo a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, a multiplicação de um número por uma soma é igual a soma dos produtos deste número por cada uma das parcelas:

. (3 + 4) = 2 . 3 + 2 . 4

(2 + 3) . 4 = 2 . 4 + 3 . 4


Propriedade do Elemento Neutro

O elemento neutro de uma operação é um valor real que não interfere no seu resultado. Ao somarmos ou multiplicarmos um número por este valor, obtemos como resultado o próprio número inicial.


Adição: a + 0 = a, 0 + a = a

O elemento neutro da adição é o número zero, pois adicionar zero a um número não altera o seu valor.

Veja nos exemplos abaixo que adicionando 0 ao número 7, ou vice-versa, o valor permanece igual a 7:

7 + 0 = 7

0 + 7 = 7


Multiplicação: a . 1 = a, 1 . a = a

O elemento neutro da multiplicação é o número um, pois multiplicando um número por um não alteramos o seu valor.

Observe que nos exemplos abaixo ao multiplicarmos 7 por 1 e o contrário, o produto continua sendo igual a 7:

. 1 = 7

. 7 = 7


Propriedade do Elemento Oposto

A propriedade do elemento do oposto se refere à adição.


Adição: a + (-a) = 0, (-a) + a = 0

O valor oposto de um número a é -a, assim sendo o oposto de 7 é -7 e o oposto -7 é 7, pois -(-7) = 7, visto que a multiplicação de dois números negativos produz um número positivo.

Ao adicionarmos a um número o seu elemento do oposto, obtemos como total o elemento neutro da adição, ou seja, o número 0:

7 + (-7) = 0

(-7) + 7 = 0


Propriedade do Elemento Inverso

A propriedade do elemento do inverso é referente à multiplicação


Multiplicação: a . (-a) = 0, (-a) . a = 0

O valor inverso de um número a é a-1 na forma de potência, ou 1/a na forma de fração, então o oposto de 7 é 7-1 ou 1/7 e o oposto de 1/7 é 7, pois 1/(1/7) = 7.

Ao multiplicarmos um número pelo seu elemento do inverso, obtemos como produto o elemento neutro da multiplicação, isto é, o número 1:

. 7-1 = 1

7-1 . 7 = 1

1/7 . 7 = 1

. 1/7 = 1