Média Harmônica

Definimos a média harmônica entre os números reais e positivos x1, x2, x3, ..., xn como sendo o inverso da média aritmética do inverso destes números.

Como sabemos a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn é dada por:

Só que no caso da Média harmônica estamos falando do inverso destes números, então teríamos a seguinte média aritmética:

Além disto, como vimos que a Média harmônica é o inverso da média aritmética do inverso dos referidos números, então finalmente temos:


Quando utilizamos a Média Harmônica

A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais.

Um exemplo clássico é aquele onde estamos trabalhando com velocidade e tempo, pois ao aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrer um determinado trajeto e vice-versa.


Compreendendo o Conceito de Média Harmônica

Já estudamos a média aritmética e a média geométrica, que conceitualmente são de mais fácil compreensão, no entanto apesar de simples o seu cálculo, a média harmônica é um conceito um pouco mais difícil de se entender.

Para uma maior facilidade de assimilação do conceito, como de costume vamos recorrer a um exemplo:

Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média desenvolvida foi de 120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta?

Embora não tenha sido dito no enunciado, estamos considerando que os trajetos de ida e volta têm a mesma medida.

É fácil entender que a média aritmética das velocidades seria de 100 km/h:

Porém a pergunta não foi qual a média das velocidades, mas sim qual a velocidade média para realizar todo o percurso.

A resposta para esta pergunta seria a média harmônica de 96 km/h:

Mas por que 96 km/h? Em que se baseia este resultado?

Vamos fazer o seguinte, já que independentemente da distância entre as cidades as velocidades médias foram de 80 km/h na ida e de 100 km/h na volta, para facilitar a explicação vamos arbitrar que a distância entre as cidades A e B seja de 120 km.

Como base nestas informações podemos concluir que o tempo gasto na ida seria de uma hora e meia, que é a distância entre as cidades dividida pela velocidade média da ida:

Analogamente na volta o tempo gasto seria de uma hora:

Então para realizar o percurso total de 240 km/h se gastaria 2,5 h, donde concluímos que a velocidade média foi de 96 km/h:

Para ficar mais claro que os 96 km/h se referem à média harmônica, vamos incluir um passo a mais no cálculo realizado acima para apurá-la:

Percebeu?

Portanto:

RespostaA velocidade média para se percorrer todo o percurso de ida e volta seria de 96 km/h.