os artigos da série "O xis da questão" normalmente detalham a resolucão de um determinado problema.
Este artigo é um pouco diferente, visto que tratamos várias situações envolvendo um tema específico:
Probabilidades no lançamento de quatro moedas
Como sabemos, a probabilidade P(E) de um evento E ocorrer, considerando-se um espaço amostral S, é igual a razão do número de elementos do evento n(E) para o número de elementos deste espaço amostral n(S):
, com n(S) ≠ 0.
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado experimento.
No lançamento de uma moeda temos a possibilidade de obter o resultado cara que representaremos por k e o resultado coroa que representaremos por c.
Abaixo temos todos os 16 resultados possíveis ao serem lançadas quatro moedas:
Qual a probabilidade de obtermos quatro coroas no lançamento de quatro moedas?
Analisando a tabela acima podemos identificar facilmente que há apenas 1 ocorrência deste evento em 16 possibilidades, a última, assim a probabilidade é de 1/16 ou 6,25%:
Mas como iríamos fazer se não tivéssemos a tabela acima a nossa disposição?
Neste caso em particular como são apenas quatro moedas, até poderíamos montar tal tabela, mas no caso de sete moedas, por exemplo, não seria uma ideia muito boa, visto que teríamos 128 possibilidades (128 = 27).
No lançamento de cada moeda temos 1/2 ou 50% de probabilidade de cair cara e a mesma probabilidade de cair coroa:
O resultado obtido no lançamento de uma moeda não interfere no resultado do lançamento das outras moedas. São eventos independentes.
A probabilidade de obtermos duas coroas no lançamento de duas moedas é 1/4 ou 25%:
No caso de três coroas no lançamento de três moedas é 1/8 ou 12,5%:
E finalmente no caso de quatros coroas/moedas é 1/16 ou 6,25%:
Como você já deve ter notado, a cada moeda acrescentada, a probabilidade de que todos lançamentos resultem em coroa (ou também em cara), é dividida por 2.
Observe que na ocorrência de um evento e de outro, multiplicamos a probabilidade da ocorrência de um, pela probabilidade da ocorrência do outro.
A probabilidade de obtermos quatro coroas no lançamento de quatro moedas é 1/16 ou 6,25%.
Agora vamos analisar este outro problema onde queremos que os resultados sejam obtidos em uma certa ordem:
Qual a probabilidade de obtermos cara, cara, coroa e coroa, nesta ordem, no lançamento de quatro moedas?
Apenas para nos situarmos, na tabela acima este é evento de número 4:
Como a probabilidade de ocorrer k e também de ocorrer c no lançamento de cada moeda é igual a 1/2, então a probabilidade de obtermos k, k, c e c é igual a:
A probabilidade de obtermos cara, cara, coroa e coroa, nesta ordem, no lançamento de quatro moedas é 1/16 ou 6,25%.
Qual a probabilidade de obtermos duas caras no lançamento de quatro moedas?
Na tabela acima observamos que nos eventos 4, 6, 7, 10, 11 e 13 temos a ocorrência desta combinação.
Logo, a probabilidade é de 3/8 ou 37,5%:
O primeiro evento onde temos a ocorrência de duas caras (e também de duas coroas) é o de número 4:
Veja que este evento difere dos eventos 6, 7, 10, 11 e 13 apenas pela posição das moedas. Em outras palavras, estes outros eventos são permutações do quarto evento:
Para calcularmos o número de permutações, como temos ocorrências repetidas de caras e de coroas, temos que realizar o cálculo da permutação com elementos repetidos e não o cálculo da permutação simples:
Agora para identificarmos a probabilidade de obtermos duas caras no lançamento de quatro moedas, basta multiplicarmos por 6, a probabilidade da ocorrência do evento 4, que como vimos no exemplo anterior, é igual a 1/16 ou 6,25%:
A probabilidade de obtermos duas caras no lançamento de quatro moedas é 3/8 ou 37,5%.
Qual a probabilidade de obtermos duas caras ou três coroas no lançamento de quatro moedas?
Neste caso quando temos 2 caras nunca teremos 3 coroas e vice-versa. Assim, basta somarmos a probabilidade de obtermos duas caras com a probabilidade de obtermos três coroas.
A probabilidade de obtermos duas caras no lançamento de quatro moedas, como vimos no exemplo anterior, é igual a 3/8 ou 37,5%.
Vamos então calcular a probabilidade de obtermos três coroas no lançamento de quatro moedas.
Veja que no evento número 8 temos três coroas:
Então para calcularmos a probabilidade de obtermos três coroas no lançamento de quatro moedas precisamos calcular o número permutações das moedas deste evento.
Como há repetições (três coroas), o cálculo será:
Ou seja, há 4 variantes do evento 8 nas quais temos 1 cara e 3 coroas, que são os eventos abaixo:
Logo, a probabilidade de obtermos três coroas no lançamento de quatro moedas é de:
Agora basta somarmos as probabilidades:
Apenas para que você possa conferir mais facilmente, veja que abaixo temos os dez eventos da tabela, dos dezesseis possíveis, que resultam na probabilidade de 62,5% de obtermos duas caras ou três coroas no lançamento de quatro moedas:
A probabilidade de obtermos duas caras ou três coroas no lançamento de quatro moedas é de 5/8 ou 62,5%.
Qual a probabilidade de obtermos ao menos duas caras ou ao menos duas coroas no lançamento de quatro moedas?
Mais abaixo você verá que a solução deste problema pode ser obtida sem recorrermos à tabela acima e sem realizarmos um cálculo sequer, mas a despeito disto, vamos solucioná-lo tanto recorrendo à tabela, quanto através de cálculos.
Na referida tabela temos 11 eventos nos quais há ao menos duas caras:
E logicamente há 11 eventos nos quais temos ao menos duas coroas:
Note também que 6 dos eventos são comuns aos dois casos. São eles os eventos:
Estes são os eventos nos quais temos ao menos duas caras e ao mesmo tempo ao menos duas coroas, pois como podemos observar, nestes eventos temos exatamente duas caras e duas coroas.
Os eventos comuns devem ser subtraídos para que não sejam somados em dobro, visto que na verdade totalizam 16 eventos e não 22. Então a probabilidade será:
Como podemos constatar, a probabilidade de obtermos ao menos duas caras ou ao menos duas coroas é de 100%, pois com quatro moedas, quando tivermos menos de duas caras teremos mais de duas coroas e vice-versa, o que satisfaz as condições da questão. As condições também serão satisfeitas quando tivermos exatamente duas moedas de cada. Portanto, as condições serão sempre satisfeitas, resultando em uma probabilidade de 100%.
Para verificarmos esta probabilidade através de cálculos, vamos somar as probabilidades das várias possibilidades, muitas das quais já analisamos acima.
Vimos no começo deste artigo que a probabilidade de obtermos quatro coroas é de 1/16 ou 6,25%.
Como no lançamento de uma moeda só temos duas possibilidades de resultado e cada uma delas conta com a mesma probabilidade de 50%, podemos concluir que a probabilidade de obtermos quatro caras também é de 1/16 ou 6,25%.
Vimos também que a probabilidade de obtermos exatamente duas caras e duas coroas é de 3/8 ou 37,5%.
Calculamos que a probabilidade de obter três coroas no lançamento de quatro moedas é de 1/4 ou 25%.
Nem é preciso dizer, em vista do explicado até então, que a probabilidade de se obter três caras no lançamento de quatro moedas também é de 1/4 ou 25%.
Somando estas cinco probabilidades, temos:
A probabilidade de obtermos ao menos duas caras ou ao menos duas coroas no lançamento de quatro moedas é de 100%.
