Sólido Geométricos - Área e Volume da Pirâmide

A Pirâmide é um sólido geométrico, um poliedro composto por um polígono na face inferior, denominada base da pirâmide e por n faces laterais triangulares com um vértice em comum, denominado vértice da pirâmide. n é o número de lados do polígono da base.

Podemos classificar uma pirâmide de acordo com o número de lados polígono da base, por exemplo, ao lado temos uma pirâmide quadrangular, pois o polígono da base é um quadrado.

Em qualquer pirâmide os polígonos das faces laterais são todos triângulos. Note que o vértice V é comum a todos os triângulos das faces laterais. Cada triângulo é determinado pelo vértice V e por uma das arestas da base.

Pirâmide Reta ou Oblíqua

Caso a projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre o plano do polígono da base seja o seu circuncentro, o centro da circunferência circunscrita, classificamos a pirâmide como reta, caso contrário como oblíqua.

Na figura ao lado temos uma pirâmide triangular reta, pois o polígono da base é um triângulo e vista de cima, o seu vértice sobrepõe o centro da sua base.

Numa pirâmide oblíqua os triângulos das faces laterais não são congruentes, além disto a projeção do vértice sobre a base não coincide com o centro geométrico da face inferior.

Pirâmide Regular ou Irregular

As pirâmides também pode ser classificadas como regular ou irregular.

Uma pirâmide é dita regular quando é reta e sua base é formada por um polígono regular, senão será uma pirâmide irregular. Pirâmides regulares possuem todas as suas arestas laterais congruentes. Pirâmides oblíquas são irregulares.

A referida figura também representa uma pirâmide regular, pois além de ser reta, a sua base é formada por um polígono regular, neste caso um triângulo equilátero.

A altura de uma pirâmide é determinada pela medida do segmento de reta que forma um ângulo de 90° com a base e une o seu vértice à mesma.

Em uma pirâmide regular e reta, todos os triângulos das suas faces laterais são congruentes.

Cálculo da Área da Superfície da Pirâmide

A área total da pirâmide será a soma do valor da área da base com a área de todas as suas faces laterais. Como as faces laterais são todas triângulos, precisamos calcular a área de cada um deles. Como sabemos, a área de um triângulo qualquer pode ser obtida multiplicando-se a medida da sua altura pela medida da sua base e dividindo-se este produto por dois:

A altura de cada um destes triângulos é o apótema da respectiva face lateral da pirâmide, ou seja, o apótema da pirâmide é a distância do seu vértice até as arestas da base.

Caso tenhamos uma pirâmide regular e reta, como vimos acima, todos os triângulos das suas faces laterais serão congruentes, neste caso basta calcularmos a área de um destes triângulos e a multiplicarmos pelo número de lados da base para encontrarmos a medida da área das suas faces laterais.

Na figura ao lado podemos ver, representado pela letra a, o apótema de uma das faces laterais de uma pirâmide.

Exemplo de Cálculo da Área da Superfície da Pirâmide

Com base nos dados contidos na figura geométrica ao lado vamos calcular a área total da sua superfície.

Temos a figura de uma pirâmide regular e reta, cujo polígono da base é um triângulo equilátero.

A área de um triângulo equilátero pode ser obtida através da seguinte fórmula:

A letra l corresponde à medida do lado do triângulo equilátero.

Substituindo o l da fórmula por seu respectivo valor obtemos a área da base:

Como todas as três faces laterais são congruentes, vamos obter a medida da área de uma delas e multiplicar esta medida por três.

Para o cálculo da área de uma das faces laterais usaremos esta fórmula:

Onde temos b = 60 e h = 85, respectivamente a medida dos lados da base e do apótema da pirâmide, que vem a ser a altura dos triângulos das faces laterais:

A área da superfície lateral será três vezes este valor:

E como explicamos, a área total será a soma da área da base com a área das faces laterais:

Se considerarmos a raiz quadrada de três aproximadamente 1,732 temos:

Portanto, a área total da superfície de uma pirâmide regular e reta, tendo como base um triângulo equilátero com cada lado medindo 60 cm e o apótema da pirâmide medindo 85 cm é de aproximadamente 9208,8 cm2.

Cálculo do Volume da Pirâmide

Independentemente de uma pirâmide ser reta ou oblíqua, regular ou irregular, a medida do seu volume é igual a um terço do produto da área da sua base pela sua altura, o qual pode ser expresso através da seguinte fórmula:

Na figura ao lado representamos a altura da pirâmide pela letra h. Note que a altura da pirâmide é a distância do seu vértice ao plano da sua base.

Exemplo de Cálculo do Volume da Pirâmide

Vamos calcular o volume da pirâmide regular e reta ao lado, cuja base é formada por um triângulo equilátero com lados de 6 cm e com altura da mesma medida.

Como visto acima a área de um triângulo equilátero pode ser calculada através da fórmula a seguir:

Substituído l da fórmula por 6 determinamos a área da base da pirâmide:

Sabendo-se que a área da base e igual a Sb = 9√3 e que h = 6, podemos calcular o volume da pirâmide:

Assumindo √3 como aproximadamente 1,732 temos:

Portanto, o volume de uma pirâmide regular e reta cuja base é formada por um triângulo equilátero com lados de 6 cm e com altura também medindo 6 cm é de 18√3 cm3 ou de aproximadamente 31,176 cm3.